Feynman-Diagramm

Grundidee und Zweck

Feynman-Diagramme sind bildliche Darstellungen von Wechselwirkungen in der Quantenfeldtheorie. Richard Feynman entwickelte sie 1949 am Beispiel der Quantenelektrodynamik. Sie werden standardmäßig in der Teilchenphysik und auch in der Festkörperphysik eingesetzt. Jeder Bestandteil eines Diagramms lässt sich nach festen Regeln eindeutig in einen mathematischen Ausdruck übersetzen.

Die zugrunde liegenden Wechselwirkungen werden durch Lagrange-Dichten ℒ beschrieben. Für Elektronen und Photonen lautet eine solche Dichte:

ℒ = Ψ†γ⁰(iγᵘ∂ᵤ − m)Ψ − eΨ†γ⁰γᵘAᵤΨ − ¼(∂ᵥAᵤ − ∂ᵤAᵥ)(∂ᵛAᵘ − ∂ᵘAᵛ).

Dabei ist Ψ der Dirac-Spinor des Elektrons oder Positrons, Ψ† das komplex konjugierte und transponierte Feld, e die elektrische Ladung, m die Elektronenmasse, γᵘ sind die Dirac-Matrizen und Aᵤ ist das elektromagnetische Viererpotential des Photons. Der erste Term beschreibt die Ausbreitung des Elektrons in der Raumzeit, der zweite die Kopplung seiner elektrischen Ladung an das Photon. Die Indizes μ und ν stehen für die vier Dimensionen des Minkowski-Raums mit μ ∈ {0,1,2,3} und den Koordinaten {t,x,y,z}. Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention; außerdem werden Einheiten mit ℏ = c = ε₀ = 1 verwendet.

Die Diagramme machen solche komplizierten Ausdrücke anschaulicher und strukturieren insbesondere Berechnungen von Streuprozessen in relativistischen Quantenfeldtheorien wie Quantenelektrodynamik und Quantenchromodynamik. Die Gesamtamplitude eines Vorgangs wird als Summe der Beiträge aller gültigen Diagramme dargestellt und als Potenzreihe in der Kopplungskonstanten entwickelt. Das Diagramm ersetzt die Rechnung jedoch nicht: Die einzelnen Beiträge müssen weiterhin mit mathematischen Formeln berechnet werden.

Linien, Teilchen und Vertices

Ein Feynman-Diagramm besteht aus Linien und Wechselwirkungspunkten. Fermionen, also Materieteilchen, werden üblicherweise durch durchgezogene Linien mit Pfeil dargestellt. Der Pfeil läuft bei einem Teilchen in Zeitrichtung und bei einem Antiteilchen gegen die Zeitrichtung. Daher wird ein Antiteilchen häufig als ein rückwärts durch die Zeit laufendes Teilchen beschrieben. Beschriftungen wie e⁻ und e⁺ können Elektron und Positron unterscheiden; manche Darstellungen schreiben nur e, weil die Pfeilrichtung die Unterscheidung bereits enthält.

Die Zeitachse kann von unten nach oben oder von links nach rechts verlaufen. Eichbosonen, welche Wechselwirkungen vermitteln, erscheinen gewöhnlich als wellen- oder spiralförmige Linien. Gluonen werden typischerweise durch Spirallinien und skalare Teilchen wie das Higgs-Boson durch gestrichelte Linien dargestellt. Die Konventionen sind nicht völlig einheitlich; beispielsweise können auch W-Bosonen gestrichelt gezeichnet werden.

Äußere Linien stehen für einlaufende oder auslaufende Teilchen. Innere Linien verbinden jeweils zwei Wechselwirkungspunkte. Ein solcher Punkt heißt Vertex; an ihm können Teilchen erzeugt, vernichtet oder gestreut werden. Durch unterschiedliche Ausrichtung desselben grundlegenden Elektron-Positron-Photon-Vertex erhält man verschiedene Deutungen: die Annihilation eines Elektrons und eines Positrons zu einem Photon, die Emission eines Photons durch ein Elektron, die Absorption eines Photons durch ein Positron oder die Paarbildung eines Elektrons und eines Positrons aus einem Photon. Ein Feynman-Diagramm besteht dabei aus Vertices, die über Teilchen miteinander zusammenhängen.

Virtuelle Teilchen, Beispiele und Schleifen

Innere Linien heißen Propagatoren und werden als virtuelle Teilchen gedeutet. Virtuelle Teilchen können nicht unmittelbar beobachtet werden. Deshalb darf ein einzelnes Diagramm nicht als eindeutiger beobachtbarer Ablauf verstanden werden: Alle gültigen Diagramme mit denselben ein- und auslaufenden Teilchen liefern Beiträge zur gleichen Gesamtamplitude und müssen summiert werden.

Ein Beispiel ist die Bhabha-Streuung eines Fermions und eines Antifermions, etwa eines Elektrons und eines Positrons. In niedrigster Ordnung zeigen die vier äußeren Linien die ein- und auslaufenden Elektronen und Positronen. Eine innere Wellenlinie steht für das virtuelle Photon, das die elektromagnetische Wechselwirkung vermittelt. Es gibt verschiedene, äquivalente Diagramme mit anderen Anordnungen des Propagators; jedes liefert einen eigenen Beitrag. Auch beim Compton-Effekt werden in niedrigster Ordnung die möglichen Diagramme addiert.

Diagramme ohne innere Schleife heißen Tree-Level-Diagramme, weil ihre Struktur einem Baum ähnelt. Für genauere Berechnungen sind Loop-Diagramme höherer Ordnung erforderlich. Man ordnet sie nach der Zahl ihrer inneren Schleifen: keine Schleife entspricht Tree-Level, eine Schleife 1-loop und zwei Schleifen 2-loop. Die Reihenentwicklung kann in der Form

P = Σₙ₌₀^∞ (Σᵥ Aₙᵛ) αⁿ = A₀⁰α⁰ + A₁⁰α¹ + (A₂⁰ + A₂¹)α² + …

geschrieben werden. Aₙᵛ bezeichnet dabei einen Diagrammbeitrag der Loop-Ordnung n, während α die Kopplungskonstante ist. Es sind beliebig viele Diagramme möglich. Beiträge höherer Ordnung werden jedoch mit höheren Potenzen von α gewichtet und gelten nach der Arbeitshypothese der Störungstheorie bei ausreichend hoher Ordnung als numerisch vernachlässigbar.

Regeln der Wechselwirkungen

Die Feynman-Regeln legen fest, welche Vertices und damit welche Wechselwirkungen erlaubt sind.

Photonen wechselwirken mit allen elektrisch geladenen Elementarteilchen, beispielsweise mit Elektronen, Positronen und Myonen. Neutrinos wechselwirken dagegen nicht mit Photonen.

Das Z-Boson wechselwirkt mit allen anderen Elementarteilchen des Standardmodells außer Gluonen. Mit Photonen wechselwirkt es nur zusammen mit W-Bosonen. Weil Neutrinos ν₁, ν₂ und ν₃ nicht elektromagnetisch wechselwirken, ist man bei ihrer Erzeugung und ihrem Nachweis auf Z- und W-Bosonen angewiesen.

W-Bosonen vermitteln Wechselwirkungen zwischen Neutrinos und geladenen Leptonen l, also Elektronen, Myonen und Tauonen, sowie zwischen Up-Typ- und Down-Typ-Quarks. W⁺ trägt positive, W⁻ negative elektrische Ladung. Daher wechselwirken W-Bosonen mit Photonen, außerdem mit Z-Bosonen und mit anderen W-Bosonen. Besonders wichtig ist, dass W-Bosonen einen Wechsel des Flavours ermöglichen, sodass sich etwa die Anzahl der Elektronen oder Neutrinos ändern kann. Dies tritt beim β-Zerfall auf:

β⁻-Zerfall eines Neutrons: n → p + e⁻ + ν̄ₑ.

β⁺-Zerfall eines Protons: p → n + e⁺ + νₑ.

Gluonen vermitteln die starke Wechselwirkung zwischen Quarks. Quarks besitzen die Farbladungen Rot, Grün und Blau beziehungsweise die Antifarbladungen Anti-Rot oder Cyan, Anti-Grün oder Magenta und Anti-Blau oder Gelb. Farbladung kann durch die Kombinationen {Rot, Grün, Blau}, {Cyan, Magenta, Gelb}, {Rot, Cyan}, {Grün, Magenta} oder {Blau, Gelb} neutralisiert werden. Gluonen tragen selbst jeweils eine Farbe und eine Antifarbe. Deshalb unterliegen sie ebenfalls der starken Wechselwirkung und können miteinander wechselwirken. Rein aus Gluonen bestehende Gluon-Bälle sind theoretisch möglich, waren aber bis 2019 nicht nachgewiesen.

Das Higgs-Boson wechselwirkt mit allen massiven Elementarteilchen und auch mit sich selbst. Mit Photonen und Gluonen besitzt es keine direkte Wechselwirkung. Nach dem Standardmodell erhalten Elementarteilchen durch die Wechselwirkung mit dem Higgs-Feld ihre Masse.

Wichtige Diagrammtypen

Ein Diagramm heißt zusammenhängend, wenn jeder Vertex über innere Linien und weitere Vertices mit jedem anderen Vertex verbunden ist; andernfalls ist es unzusammenhängend. In jedem zusammenhängenden Teil sind Energie, Impuls und Ladung erhalten: Ihre Summen sind für die einlaufenden und auslaufenden Teilchen gleich.

Ein zusammenhängendes Diagramm ist Ein-Teilchen-irreduzibel, wenn es sich nicht durch das Zerschneiden einer einzigen inneren Linie in zwei unzusammenhängende Diagramme zerlegen lässt. Die dabei auftretenden Integrationen können nicht systematisch als Produkt einfacherer Integrale behandelt werden.

Ein amputiertes Diagramm entsteht, wenn Korrekturen der äußeren Linien, die sogenannten Selbstenergien, weggelassen werden. Ein Diagramm mit einer Schleife und äußeren Linien an nur zwei Vertices heißt nach der Amputation Selbstenergiediagramm. Sein Wert hängt ausschließlich von der Energie und dem Impuls ab, die an einem Vertex hinein- und am anderen hinausfließen. Ein Skelett-Diagramm enthält kein Selbstenergie-Unterdiagramm.

Übertragung auf die Festkörperphysik

In der Festkörperphysik wird die wellenförmige Photonlinie auf Phononen übertragen. Phononen sind die Quanten von Schall- beziehungsweise Gitterschwingungen. Ein rückwärts laufendes Elektron wird hier nicht als Positron, sondern als Defektelektron gedeutet. So lassen sich unter anderem wesentliche Prozesse der Supraleitung sowie allgemeine Konfluenz- und Splitting-Prozesse darstellen.

Dabei können elementare fermionische Anregungen wie ein negativ geladenes Elektron, ein positiv geladenes Defektelektron oder ein Polaron gemeinsam mit bosonischen Quasiteilchen erzeugt oder vernichtet werden. Zu diesen bosonischen Anregungen gehören Phononen, Magnonen als quantisierte Spinwellen und Plasmonen als quantisierte Plasmaschwingungen. Bei allen solchen Prozessen bleiben die Summen der Energien und Impulse erhalten. Die Energie entspricht dabei Frequenz mal ℏ, der Impuls Wellenzahl mal ℏ. Deshalb lassen sich auch diesen Diagrammen genau bestimmte mathematische Ausdrücke für die Wechselwirkungsamplituden zuordnen.

Feynman-Graphen wurden außerdem künstlerisch verwendet: Der deutsche Glaskünstler Karl-Martin Hartmann gestaltete im Jahr 2000 für die Kirche St. Nicolai in Kalkar ein Chorfenster als Raster aus Feynman-Graphen.