Adiabatische Zustandsänderung

Grundidee und Bedeutung

Eine adiabatische oder adiabate Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Vorgang, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen überführt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen. „Adiabatisch“ und „wärmedicht“ werden dabei synonym verwendet; die Eigenschaft heißt Adiabasie. Im Unterschied dazu wird bei diabatischen oder diathermen Prozessen Wärme mit der Umgebung ausgetauscht.

Energie darf einem adiabatischen System nur durch mechanische, elektrische oder magnetische Arbeit zugeführt oder entnommen werden. Im Idealfall sind Wärmeleitung, konvektive Wärmeübertragung und Wärmestrahlung zwischen System und Außenwelt ausgeschlossen. Vollständige Wärmeisolation ist praktisch nicht erreichbar. Reale Vorgänge lassen sich aber oft gut als adiabatisch beschreiben, wenn sie sehr schnell ablaufen, in besonders gut isolierenden Behältern stattfinden oder das System so groß ist, dass Wärmeströme an seinem Rand kaum ins Gewicht fallen.

Adiabatische Zustandsänderungen sind wichtig, weil sie den Zusammenhang zwischen verrichteter Arbeit und innerer Energie zeigen. Sie spielen beispielsweise im Carnotschen Kreisprozess mit adiabatischer Kompression und Expansion des Arbeitsgases sowie beim axiomatischen Aufbau der Thermodynamik eine zentrale Rolle.

Typische Vorgänge und Anwendungen

Eine adiabatische Zustandsänderung muss nicht quasistatisch sein. Sie kann näherungsweise in einem Dewargefäß oder adiabatischen Kalorimeter ablaufen, bei sehr schnellen Vorgängen wie Verbrennungsmotor, Luftpumpe und Schallausbreitung oder bei großen Luftpaketen in der Atmosphäre.

Bei einer schnellen Kompression von Luft wird Arbeit am Gas verrichtet. Dadurch steigt seine innere Energie und damit seine Temperatur; dies ist etwa beim schnellen Aufpumpen eines Fahrradreifens fühlbar. In einem pneumatischen Feuerzeug wird Luft auf weniger als ein Zwanzigstel ihres ursprünglichen Volumens komprimiert und so stark erhitzt, dass eingelagerter Zunder erglimmt.

Bei der Expansion wird innere Energie in Volumenarbeit umgewandelt, deshalb kühlt das Gas ab. Aufsteigende Luftmassen und Luft auf der Oberseite von Tragflächen expandieren adiabatisch. Sinkt dadurch die Sättigungskonzentration unter die vorhandene Luftfeuchtigkeit, entstehen Wolken oder Nebel. Beim vorsichtigen Entkorken einer auf 6 °C gekühlten Sektflasche expandiert Kohlendioxid von 4,5 bar auf 1 bar und kann bis zu −75 °C kalt werden. Bei einer zimmerwarmen Flasche mit etwa 7 bar kann es sich fast auf −90 °C abkühlen; Wassertröpfchen, Eiskristalle und gegebenenfalls Trockeneis-Partikel werden sichtbar.

Beim Gay-Lussac-Versuch expandiert ein Gas zwar adiabatisch, verrichtet aber keine äußere Arbeit. Der Vorgang ist nicht quasistatisch; nur Anfang und Ende sind Gleichgewichtszustände. Ideale Gase ändern dabei ihre Temperatur nicht.

Reibung, Zellen und gekoppelte Systeme

Auch Reibungsarbeit an einem thermisch isolierten System ist eine adiabatische Zustandsänderung, wenn Anfang und Ende Gleichgewichtszustände sind. Im Versuch von James Prescott Joule wurde genau messbare mechanische Arbeit über Gewichte und ein Rührwerk in die innere Energie von Wasser umgewandelt; die Temperatur wurde vorher und nachher gemessen. Entsprechend kann elektrische Arbeit ∫ U(t)I(t)dt zugeführt werden, etwa zur Bestimmung einer Wärmekapazität.

Ein thermisch isolierter Akkumulator kann Energie als elektrische Arbeit abgeben oder aufnehmen. Dabei ändern sich die Stoffmengen an den Elektroden. Wegen ohmscher Verluste erwärmt sich das System, und die Zustandsänderung ist nicht reversibel.

Häufig werden zwei zunächst getrennte Gleichgewichtssysteme als ein zusammengesetztes, nach außen wärmeisoliertes System betrachtet. Werden sie ohne Arbeitsaufwand gekoppelt, etwa durch thermischen Kontakt, das Entfernen einer Trennwand oder das Öffnen eines Ventils, läuft der meist irreversible Vorgang bis zu einem neuen Gleichgewicht ab. Beispiele sind das Lösen von Kochsalz in Wasser zur Bestimmung der Lösungswärme, das Mischen von Säure und Lauge zur Bestimmung der Neutralisationswärme, die Reaktion von zwei mol Wasserstoff mit ein mol Sauerstoff zu Wasser sowie das Einstellen eines Gleichgewichts zwischen flüssigem Wasser und Wasserdampf.

Sind zwei Systeme A und B anfangs im Gleichgewicht und ist A wärmer als B, fließt Wärme bei direktem Kontakt irreversibel von A nach B, bis beide dieselbe Temperatur haben. Überträgt eine ideale Wärmekraftmaschine die Wärme reversibel, wird zugleich Arbeit entnommen. Die gemeinsame Endtemperatur ist dann niedriger, weil die Energie des Gesamtsystems abgenommen hat, die Entropie aber gleich geblieben ist.

Arbeit, innere Energie und Entropie

Theoretisch ist eine adiabatische Zustandsänderung die Änderung eines bis auf Arbeitsprozesse isolierten Systems vom Gleichgewichtszustand z₁ zum Gleichgewichtszustand z₂. Zugeführte Arbeit wird mit W > 0, vom System geleistete Arbeit mit W < 0 und fehlende Arbeit mit W = 0 bezeichnet. Diese Definition kommt ohne den Begriff Wärme aus.

z₂ heißt von z₁ adiabatisch erreichbar, wenn es eine solche Zustandsänderung von z₁ nach z₂ gibt. Die zugrunde liegenden Postulate lauten: Für zwei Gleichgewichtszustände z₁ und z₂ ist entweder z₂ von z₁ oder z₁ von z₂ adiabatisch erreichbar. Außerdem ist die Arbeit für alle adiabatischen Zustandsänderungen mit gleichem Anfangs- und Endzustand gleich. Sind beide Richtungen möglich, gilt W₂ = −W₁.

Damit lässt sich die innere Energie U als Zustandsfunktion definieren. Nach willkürlicher Festlegung von U(z₀) gilt bei Erreichbarkeit von z aus z₀ mit Arbeit W: U(z) = U(z₀) + W. Ist stattdessen z₀ von z erreichbar, gilt U(z) = U(z₀) − W. Für eine allgemeine, thermisch nicht isolierte Zustandsänderung wird die zugeführte Wärme durch Q = U(z_b) − U(z_a) − W definiert. Für einen adiabatischen Vorgang folgt Q = 0.

In axiomatischen Modellen dient adiabatische Erreichbarkeit auch zur Einführung der Entropie S. Für einfache thermodynamische Systeme gilt nach Lieb und Yngvason: z₂ ist von z₁ adiabatisch erreichbar genau dann, wenn S(z₂) ≥ S(z₁).

Quasistatische Adiabaten

Quasistatisch bedeutet, dass sich das System während der ganzen Änderung nahezu im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Die dabei durchlaufenen Gleichgewichtszustände bilden einen zusammenhängenden Weg im Zustandsraum Γ. Dieser Weg heißt Adiabate, wenn die Zustandsänderung allein durch die Änderung äußerer Parameter mittels idealisierter äußerer Vorrichtungen gesteuert wird. Äußere Parameter beschreiben äußere Nebenbedingungen, zum Beispiel das Volumen oder Komponenten eines äußeren Magnetfeldes. Verläufe mit Reibungsarbeit werden nicht als Adiabaten bezeichnet.

Bei äußeren Parametern α₁, …, αₙ gibt es Funktionen βᵢ(z), sodass entlang einer Adiabate gilt: W = U(z₂) − U(z₁) = ∫₍z₁₎⁽z₂⁾ Σᵢ₌₁ⁿ βᵢ(z)dαᵢ.

Ein einfaches thermodynamisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass innere Energie U und äußere Parameter seinen Gleichgewichtszustand eindeutig festlegen. Bei solchen Systemen sind quasistatische adiabatische Zustandsänderungen immer reversibel. Ihre Adiabaten sind daher zugleich Isentropen, also Kurven konstanter Entropie. Bei nicht einfachen Systemen können Adiabate und Isentrope verschieden sein; Beispiele sind zwei voneinander isolierte einfache Systeme als Gesamtsystem sowie Systeme mit ferromagnetischem Material wegen Hysterese.

Ideales Gas und Luft

Für eine konstante Stoffmenge n eines idealen Gases gilt p(T,V) = nRT/V und für die Änderung der inneren Energie dU = nc_vdT. Bei einer Volumenänderung ist die am System geleistete Arbeit δW = −p(T,V)dV = −(nRT/V)dV. Für einen adiabatischen Prozess gilt dU = δW und damit nc_vdT + (nRT/V)dV = 0.

Daraus folgt die Adiabatengleichung TV^(R/c_v) = konstant. Mit dem Adiabatenexponenten γ = c_p/c_v und c_p = c_v + R lautet sie: T₂ = T₁(V₁/V₂)^(γ − 1), p₂ = p₁(V₁/V₂)^γ, T₂ = T₁(p₁/p₂)^((1 − γ)/γ). Diese Gleichungen heißen auch Poissongleichungen. Für Luft ist γ = 1,4.

Bei T₁ = 293,15 K (= 20 °C) ergibt eine Volumenreduktion um 10 % eine Temperaturerhöhung von 12,6 K, eine Reduktion um 50 % von 93,7 K. Für eine Fahrradpumpe von 1 auf 5 bar absolut ergeben sich V₂/V₁ = 0,316, T₂/T₁ = 1,584 und eine Temperaturerhöhung von 171,2 K. Beim Aufstieg trockener Luft um etwa 1000 m in der unteren Erdatmosphäre beträgt die Temperaturänderung −10,96 K.

Diese Zahlen gelten für idealisierte, trockene Luft: ideales Gas, geringer Druck unter 100 bar, Temperatur über 200 K, temperaturunabhängiges c_v und zweiatomige Moleküle wie N₂ und O₂. Bei Wasserdampf kann Kondensation auftreten; bei höheren Drücken oder abweichenden Molekülarten gelten die Vereinfachungen nur eingeschränkt.