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Carnot-Prozess
Der Carnot-Kreisprozess oder -Zyklus ist ein Gedankenexperiment über eine Wärmekraftmaschine, in der mithilfe von Wärme mechanische Arbeit oder umgekehrt …
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Grundidee und Ablauf
Der Carnot-Prozess ist ein idealer, umkehrbarer Kreisprozess einer Wärmekraftmaschine. Ein Gas als Arbeitsmedium befindet sich in einem Zylinder mit Hubkolben und steht abwechselnd mit einem heißen Wärmereservoir der konstanten Temperatur T_H und einem kälteren Reservoir der Temperatur T_K in Kontakt; sonst ist es thermisch isoliert.
Das Gas nimmt Wärme auf, expandiert und gibt mechanische Arbeit ab. Es wird anschließend verdichtet und gibt Wärme ab. Nach einem vollständigen Zyklus besitzt es wieder dieselben Zustandsgrößen wie zu Beginn: Temperatur T, Druck p, Volumen V, innere Energie U und Entropie S. Die Differenz aus aufgenommener und abgegebener Wärme ist im reversiblen Fall genau die insgesamt gewonnene Arbeit. Im T-S-Diagramm entspricht sie der eingeschlossenen Fläche.
Rechtsdrehend im T-S-Diagramm arbeitet der Prozess als ideale Wärmekraftmaschine; in umgekehrter Richtung als ideale Wärmepumpe oder Kältemaschine. Vollständig real ist er nicht erreichbar: Wärmeübertragung bei gleichzeitig konstanter Temperatur und Verdichtung beziehungsweise Expansion lässt sich nicht in einem Arbeitsgang verwirklichen; außerdem entstehen Reibungsverluste.
Vier Zustandsänderungen
Der rechtslaufende Carnot-Prozess besteht aus vier Zustandsänderungen. Im p-V-Diagramm entspricht die von den Linien 1234 eingeschlossene Fläche der verrichteten Arbeit ΔW; im T-S-Diagramm entspricht die eingeschlossene Fläche der in Arbeit umgewandelten Wärmemenge ΔQ.
• 1→2: isotherme Kompression bei T_K. Das Volumen sinkt von V_1 auf V_2, der Druck steigt. Wärme wird an das kalte Reservoir abgegeben und Arbeit zugeführt.
• 2→3: isentrope Kompression. Sie ist adiabatisch reversibel, also ohne Wärmeaustausch; die Entropie bleibt konstant. Das Volumen sinkt von V_2 auf V_3, Druck und Temperatur steigen von T_K auf T_H.
• 3→4: isotherme Expansion bei T_H. Das Volumen steigt von V_3 auf V_4, der Druck sinkt. Das Gas nimmt Wärme aus dem warmen Reservoir auf und gibt Arbeit ab.
• 4→1: isentrope Expansion. Ohne Wärmeaustausch steigt das Volumen von V_4 auf V_1; Druck und Temperatur fallen von T_H auf T_K. Das Gas gibt Arbeit ab und verliert innere Energie.
Isotherme Schritte
Bei der isothermen Kompression bleibt die Temperatur T_K konstant. Für ein ideales Gas gilt deshalb dU = 0: Die gesamte zugeführte Kompressionsarbeit wird als Wärme abgeführt.
Q_12 = T_K(S_2 − S_1) < 0 −Q_12 = W_12 = −nRT_K ln(V_2/V_1) > 0
Bei der isothermen Expansion bleibt die Temperatur T_H konstant. Das Gas nimmt Wärme auf und verrichtet Arbeit:
Q_34 = T_H(S_1 − S_2) > 0 −Q_34 = W_34 = −nRT_H ln(V_4/V_3) < 0
Dabei ist n die Stoffmenge und R die universelle Gaskonstante.
Isentrope Schritte
Bei einer isentropen Zustandsänderung findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. Bei der Kompression 2→3 gilt dQ_23 = 0; die zugeführte Arbeit wird vollständig als innere Energie gespeichert:
ΔU_23 = W_23 = n C_V(mol)(T_H − T_K) > 0 T_H/T_K = (V_2/V_3)^(κ − 1)
Bei der Expansion 4→1 gilt ebenfalls dQ_41 = 0. Die abgegebene Arbeit stammt vollständig aus der abnehmenden inneren Energie:
ΔU_41 = W_41 = n C_V(mol)(T_K − T_H) = −ΔU_23 < 0 T_K/T_H = (V_4/V_1)^(κ − 1)
κ ist der Isentropenexponent des idealen Gases; C_V(mol) seine molare Wärmekapazität.
Wirkungsgrad und Grenze
Der erste Hauptsatz lautet dU = δW + δQ. Da nach dem Zyklus ΔU = 0 ist, gilt für den Kreisprozess W = −Q. Der Carnot-Wirkungsgrad ist das Verhältnis des Betrags der vom System abgegebenen Arbeit zur zugeführten Wärme:
η_c = |W|/Q_34 = (T_H − T_K)/T_H = 1 − T_K/T_H ≤ 1.
Der Wirkungsgrad hängt somit nur von den Temperaturen der beiden Reservoirs ab. Weil die obere Temperatur begrenzt ist und der absolute Nullpunkt nach dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik nicht erreichbar ist, bleibt η_c stets kleiner als 1. Eine zyklisch arbeitende Maschine kann daher nicht Wärme aus nur einem Reservoir vollständig in Arbeit umwandeln.
Eine Maschine mit einem bei vorgegebenen Reservoirtemperaturen höheren Wirkungsgrad als dem Carnot-Wirkungsgrad wäre ein Perpetuum mobile der zweiten Art. Als Exergie bezeichnet man den Anteil thermischer Energie, der als Arbeit nutzbar ist, als Anergie den nicht umwandelbaren Anteil. Daher gilt auch: η_c = Exergie / thermische Energie.
