Schallgeschwindigkeit

Grundidee und allgemeine Eigenschaften

Die Schallgeschwindigkeit cₛ ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen, also geringe Druckschwankungen, in einem Medium ausbreiten. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s). In gänzlich trockener Luft bei 20 °C beträgt sie 343,46 m/s, entsprechend 1236,5 km/h oder 667,7 kn.

Sie darf nicht mit der Strömungsgeschwindigkeit eines Stoffes oder mit der Schallschnelle verwechselt werden. Die Schallschnelle beschreibt, wie schnell einzelne Teilchen des Mediums um ihre Ruheposition schwingen; cₛ beschreibt dagegen die Fortpflanzung der Störung.

Die Schallgeschwindigkeit ist vor allem von Dichte und Widerstand gegen elastische Verformung abhängig. Sie steigt im Allgemeinen mit der Temperatur, kann aber in der Nähe von Phasenübergängen wieder sinken. Bei nicht zu hohen Drücken ist ihr Druckeinfluss meist gering, weil Änderungen von Dichte und Elastizität einander ausgleichen. Für eine monochromatische Welle gilt cₛ = λ f, wobei λ die Wellenlänge und f die Frequenz ist.

Bei kleinem Schallwechseldruck ist cₛ von der Amplitude unabhängig. Bei großen Amplituden steigt sie; Wellenberge laufen dann schneller als Wellentäler und können Stoßwellen bilden. Schalltransport ist meist nahezu verlustfrei und frequenzunabhängig. Höhere Frequenzen und Phasenübergänge können jedoch Verluste und Frequenzabhängigkeit verursachen.

Flüssigkeiten und Gase

In idealen Flüssigkeiten und Gasen sind nur Longitudinalwellen möglich: Die Teilchen bewegen sich dabei parallel zur Ausbreitungsrichtung hin und her. Es gibt daher dort nur eine Schallgeschwindigkeit. Sie lautet

cFlüssigkeit, Gas = √(K/ρ).

Dabei ist K der adiabatische Kompressionsmodul, also ein Maß dafür, wie stark das Medium einer schnellen Verdichtung widersteht, und ρ die Dichte. „Adiabatisch“ bedeutet hier, dass während der schnellen Druckschwankung praktisch keine Wärme ausgetauscht wird.

In Flüssigkeiten sind Moleküle dauerhaft durch zwischenmolekulare Kräfte gekoppelt. Die maximal ausbreitbare Frequenz liegt in der Größenordnung von etwa 100 bis 1000 GHz. Die meisten Flüssigkeiten besitzen Schallgeschwindigkeiten um 1400 m/s; nahe dem Siedepunkt sinken sie. Beispiele bei Normaldruck: Wasser hat bei 20 °C 1484 m/s, Meerwasser 1500 m/s, Glycerin 1920 m/s und Gallium bei 30 °C 2740 m/s.

In Gasen unterhalb des kritischen Punktes wird Schall durch elastische Stöße der Moleküle weitergegeben. Die maximale Frequenz hängt von Druck und Temperatur ab. Für Luft unter Normalbedingungen beträgt sie etwa 3 GHz. Bei niedrigem Druck sinkt sie stark; in intergalaktischer Materie können zwischen Atomen teilweise 10.000 Jahre zwischen zwei Stößen liegen. Dort kann nicht mehr von klassischer Schallausbreitung gesprochen werden.

Beispiele für Gase bei 20 °C und 101325 Pa, soweit nicht anders angegeben: Luft 343 m/s, Helium 981 m/s, Wasserstoff 1280 m/s, Kohlenstoffdioxid 266 m/s und Schwefelhexafluorid bei 0 °C 129 m/s.

Festkörper und Wellenarten

In Festkörpern sorgt die elastische Kopplung zwischen Atomen für die Schallausbreitung. Zusätzlich zu Longitudinalwellen können Transversal- oder Scherwellen auftreten: Bei ihnen schwingen Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Das ist möglich, weil Festkörper einen Schermodul G besitzen, also seitlichen Scherbewegungen widerstehen. Transversalwellen sind langsamer als Longitudinalwellen, meist ungefähr halb so schnell. In anisotropen Festkörpern hängt die Geschwindigkeit von der Richtung ab; außerdem können zwei Transversalwellen mit leicht verschiedenen Geschwindigkeiten vorkommen.

Für einen allgemeinen Festkörper gelten mit Elastizitätsmodul E, Poissonzahl ν und Dichte ρ:

cFestkörper,longitudinal = √(E(1 − ν) / (ρ(1 − ν − 2ν²)))

cFestkörper,transversal = √(E / (2ρ(1 + ν))) = √(G/ρ), mit G = E/(2(1 + ν)).

Das Verhältnis ctrans/clong ist in isotropen Medien immer kleiner als 0,7071… = √0,5 und hängt nur von ν ab. Für lange Stäbe, deren Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge ist, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden: clongitudinal = √(E/ρ) und ctransversal = √(E/(2ρ)).

Oberflächenwellen auf ausgedehnten Festkörpern, Rayleigh-Wellen, sind langsamer: cFestkörper,Oberfläche ≈ 0,8741…0,9554 · cFestkörper,transversal. Auch auf Platten, an deren Rändern, in Stäben und Saiten ist die Geschwindigkeit weiter reduziert. Innerhalb der ersten Brillouin-Zone ist Schall bis etwa 10…30 THz möglich; oberhalb der Debye-Frequenz νD = kBΘD/h gibt es keine Schallausbreitung mehr.

Beispiele bei 20 °C: Aluminium 6250–6350 m/s longitudinal und 3100 m/s transversal, Stahl 5850–5920 m/s und 3230 m/s, Diamant 18000 m/s und 12200 m/s. Graphen erreicht 20000 m/s. Eine theoretische obere Grenze für ausschließlich aus Protonen und Elektronen aufgebaute Festkörper wird mit etwa 36,1 km/s angegeben; unter Berücksichtigung stabiler Kerne etwa 25,5 km/s. Entartete Kernmaterie kann Druckschwankungen dagegen fast mit Lichtgeschwindigkeit weiterleiten.

Ideale und reale Gase

Für ein klassisches ideales Gas gilt K = κp und damit

cIdeales Gas = √(κp/ρ) = √(κRT/M) = √(κkBT/m).

κ ist der Adiabatenexponent, p der Druck, R die universelle Gaskonstante, M die molare Masse, kB die Boltzmann-Konstante, m die mittlere Teilchenmasse und T die absolute Temperatur. Für ein bestimmtes ideales Gas mit festen M und κ hängt die Schallgeschwindigkeit nur von T, nicht von Druck oder Dichte ab.

Näherungsweise ist κ = (f + 2)/f. f bezeichnet die Freiheitsgrade der Bewegung: f = 3 für einatomige Gase, f = 5 für zweiatomige Moleküle und f = 6 für starre Moleküle mit mehr als zwei Atomen. Daraus folgen beispielsweise κ = 5/3 ≈ 1,67 für Edelgase und κ = 7/5 = 1,40 für N₂, H₂, O₂ und CO. Bei höheren Temperaturen können Schwingungen mehratomiger Moleküle zusätzliche Freiheitsgrade liefern.

Für trockene Luft mit M = 0,02896 kg/mol, T = 293,15 K und κ = 1,402 ergibt die Formel 343,5 m/s. Die mittlere Translationsgeschwindigkeit der Teilchen ist etwas größer als die Schallgeschwindigkeit.

Bei realen Gasen funktionieren diese Vorstellungen meist sehr gut. Für Luft im Bereich −20 °C < ϑ < +40 °C gilt mit weniger als 0,2 % Abweichung: cLuft ≈ (331,5 + 0,6 ϑ/°C) m/s. Luftfeuchtigkeit erhöht cₛ geringfügig: Bei 20 °C ist sie bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % größer als bei trockener Luft. In der Atmosphäre sinkt cₛ mit der Höhe und erreicht in der Tropopause bei etwa 11 km ungefähr 295 m/s. Temperaturinversionen oder Windprofile können Schallstrahlen zum Boden oder nach oben krümmen und dadurch die Reichweite verändern.

Temperatur, Frequenz und Anwendungen

Für Luft liefert cLuft ≈ 20,058 · √(T/K) m/s mit T = ϑ + 273,15 K Werte, die um weniger als 0,02 % von den Tabellenwerten abweichen. Sie reichen von 299,63 m/s bei −50 °C über 331,50 m/s bei 0 °C bis 360,57 m/s bei +50 °C.

Ist die Geschwindigkeit frequenzabhängig, heißt das Medium dispersiv. Dann besitzt jede Frequenzkomponente eine eigene Phasengeschwindigkeit und Dämpfung, während sich die Energie mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt. Gummi ist dispersiv: Bei höherer Frequenz ist es steifer und cₛ größer. Wasser und trockene Luft sind im hörbaren Bereich nicht dispersiv; feuchte Luft ist im nahen Ultraschallbereich um 100 kHz dispersiv.

Bei sehr hohen Frequenzen wird die Verdichtung eines Gases durch Wärmeleitung zunehmend isotherm statt adiabatisch. Dadurch sinkt die Geschwindigkeit von cLo = √(κkBT/m) auf cHi = √(kBT/m). Die thermische Leitfähigkeitsfrequenz lautet fTC = ρcpc²/(2πλ). Für Luft bei 20 °C und 101,325 kPa beträgt sie ungefähr 893 MHz; bei zweiatomigen Gasen bedeutet der Übergang knapp 8 % Geschwindigkeitsabfall. Zugleich steigt die Dämpfung erheblich.

Thermodynamisch gilt allgemein c² = −v²(∂p/∂v)s = (∂p/∂ρ)s, mit v = 1/ρ und dem Index s für konstante spezifische Entropie. Sehr genaue Schallgeschwindigkeitsmessungen helfen bei Zustandsgleichungen und bei der indirekten Bestimmung von Wärmekapazitäten sowie der Gaskonstante.

Bei der Druckentlastung durch Ventile oder Blenden begrenzt die Schallgeschwindigkeit die maximale Massenstromdichte im engsten Querschnitt („choked flow“). Bei idealen Gasen tritt dies näherungsweise ein, wenn der Austrittsdruck kleiner als die Hälfte des Behälterdrucks ist. Für Geschwindigkeiten über der Schallgeschwindigkeit braucht man sich nach dem engsten Querschnitt erweiternde Lavaldüsen, etwa in Raketentriebwerken. Mach 1 bezeichnet in der Luftfahrt jeweils die örtliche Schallgeschwindigkeit. Die Blitzentfernung lässt sich näherungsweise bestimmen, indem man die Sekunden zwischen Blitz und Donner durch drei teilt; das Ergebnis ist die Entfernung in Kilometern.