Wärmeleitung

Grundprinzip und Bedeutung

Wärmeleitung, auch Wärmediffusion oder Konduktion genannt, ist ein Mechanismus zum Transport thermischer Energie innerhalb eines Körpers oder zwischen Feststoffen, Flüssigkeiten und Gasen. Ursache ist ein Temperaturunterschied. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik fließt Wärme stets in Richtung der niedrigeren Temperatur. Dabei geht keine Energie verloren; es gilt der Energieerhaltungssatz.

Die Wärmeleitfähigkeit λ beschreibt, wie gut ein Stoff Wärme leitet. Neben der Wärmeleitung gibt es zwei weitere Mechanismen des Wärmetransports: Konvektion, bei der Wärme durch die Bewegung eines Fluids übertragen wird, und Wärmestrahlung. Bei reiner Wärmediffusion in Flüssigkeiten und Gasen entstehen im Unterschied zur Konvektion keine Wirbel.

Wärmestrom und Fouriersches Gesetz

Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung Q̇ wird für einen festen Körper mit zwei parallelen Wandflächen durch das Fouriersche Gesetz beschrieben:

Q̇ = λ · A · (T_W1 − T_W2) / d

Dabei ist T_W1 die Temperatur der wärmeren Wandoberfläche, T_W2 die Temperatur der kälteren Wandoberfläche, A die vom Wärmestrom durchquerte Fläche, λ die temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit des Materials und d die von Wand zu Wand gemessene Dicke. Die Einheit der Wärmeleistung Q̇ ist Watt (W).

Die übertragene Wärmeleistung ist proportional zur Fläche A, zur Wärmeleitfähigkeit λ und zur Temperaturdifferenz T_W1 − T_W2. Sie ist umgekehrt proportional zur Materialdicke d. Eine größere Fläche, ein besser leitendes Material oder ein größerer Temperaturunterschied erhöhen daher den Wärmestrom; eine größere Dicke verringert ihn.

Genauer wird der Wärmetransport durch die vektorielle Wärmestromdichte q̇ beschrieben. Sie gibt den Wärmestrom pro Fläche einschließlich seiner Richtung an. Ihr Zusammenhang mit dem Temperaturgradienten lautet:

q̇ = −λ grad T

Der Temperaturgradient beschreibt Richtung und Stärke der räumlichen Temperaturänderung. Das Minuszeichen zeigt, dass der Wärmestrom entgegen dem Gradienten, also von hoher zu niedriger Temperatur, verläuft.

Wärmeleitungsgleichung und Berechnung

Die zeitliche und räumliche Entwicklung einer Temperaturverteilung wird durch eine partielle Differentialgleichung mit parabolischer Charakteristik beschrieben:

∂u(r⃗,t)/∂t = a Δu(r⃗,t)

u(r⃗,t) ist die Temperatur am Ort r⃗ zur Zeit t, Δ der räumliche Laplace-Operator und a > 0 die Temperaturleitfähigkeit des Mediums. Für homogene und isotrope Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung:

∂T(r⃗,t)/∂t = a(T) · ΔT(r⃗,t)

Homogen bedeutet, dass das Medium überall dieselbe Zusammensetzung besitzt. Isotrop bedeutet, dass es keine Vorzugsrichtung aufweist. Solche Richtungen können beispielsweise durch Fasern in Verbundmaterialien oder durch Kornstreckungen in gewalzten Blechen entstehen. In der angegebenen Form wird außerdem vorausgesetzt, dass keine Wärme durch zusätzliche Effekte in den Körper eingebracht oder aus ihm entfernt wird; andernfalls ist ein Quellterm erforderlich.

Für inhomogene Medien mit Wärmequellen gilt:

ρ(r⃗) · c(r⃗) · ∂T(r⃗,t)/∂t = ∇ · [λ(r⃗) · ∇T(r⃗,t)] + q(r⃗)

Dabei ist ∇ der Nabla-Operator, ρ die Massendichte, c die spezifische Wärmekapazität, λ die Wärmeleitfähigkeit und q der pro Volumen durch innere oder äußere Quellen eingebrachte Wärmestrom.

Die Gleichung beschreibt, wie eine Temperaturverteilung aufgrund eines Temperaturgefälles durch einen Körper „wandert“. Ihre analytische Lösung ist häufig nicht möglich. Technisch wichtige Aufgaben werden deshalb meist numerisch mit der Finite-Elemente-Methode berechnet. Das Ergebnis ist ein zeitlich und räumlich bestimmtes Temperaturfeld. Daraus lassen sich etwa die thermische Ausdehnung eines Bauteils und der dadurch mitbestimmte örtliche Spannungszustand ableiten.

Bei stationären Vorgängen bleiben die Temperaturen mit der Zeit konstant. An Oberflächen können thermische Bedingungen 1. Art (vorgegebene Oberflächentemperatur), 2. Art (vorgegebene Wärmestromdichte) oder 3. Art (vorgegebene Fluidtemperatur und Wärmeübergangskoeffizient) gelten. Die entstehenden Temperaturfelder sind meist kompliziert und werden gewöhnlich numerisch berechnet. Aus Untersuchungen für voneinander unabhängige Randbedingungen kann eine Formkoeffizientenmatrix gewonnen werden. Mit dieser einmal bestimmten Matrix lassen sich bei geänderten Oberflächen- oder Fluidtemperaturen beziehungsweise Wärmestromdichten die Oberflächenwärmeströme und ausgewählte Temperaturen im Körper mit einfachen Kalkulationsprogrammen bestimmen.

Mechanismen in unterschiedlichen Stoffen

In dielektrischen Festkörpern, also elektrischen Isolatoren, wird Wärme ausschließlich durch Gitterschwingungen übertragen. Diese Schwingungsquanten heißen Phononen; dabei wird die Bewegung der Atome von Nachbar zu Nachbar weitergegeben. Die Elektronen sind an Atome gebunden und tragen daher nicht zur Wärmeleitung bei. Bei sehr tiefen Temperaturen begrenzt die Streuung an Grenzflächen die Wärmeleitfähigkeit nichtmetallischer kristalliner Festkörper. Manche Kristalle besitzen wegen Phononenresonanz in bestimmten Temperaturbereichen eine hohe Wärmeleitfähigkeit, etwa Berylliumoxid-Keramik mit ungefähr 300 W/(m·K) bei Raumtemperatur oder Diamant mit mehr als 1000 W/(m·K).

In elektrisch leitfähigen Festkörpern wie Metallen können auch Elektronen Wärme transportieren; in Metallen überwiegt dieser Anteil sogar. Der Zusammenhang zwischen elektrischer und thermischer Leitfähigkeit wird durch das Wiedemann-Franzsche Gesetz ausgedrückt. Deshalb leitet Kupfer Wärme besser als Eisen. Im supraleitenden Zustand tragen Elektronen nicht mehr zur Wärmeleitung bei, weshalb Supraleiter keine guten Wärmeleiter sind.

Für Gase liefert die kinetische Gastheorie:

λ = 1/3 · c_v · ρ · v · l

sowie λ ∼ √(T/m). Hier sind c_v die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen, ρ die Gasdichte, v die mittlere Geschwindigkeit und l die mittlere freie Weglänge der Moleküle, T die Gastemperatur und m die Masse eines Moleküls. Ein höherer Druck verkleinert l in demselben Maß, in dem ρ steigt; daher bleibt λ unter diesen Bedingungen gleich. Mit steigender Temperatur nimmt die Wärmeleitfähigkeit zu. Leichte Atome oder Moleküle leiten besser als schwere, weil sie sich bei gleichem Energiegehalt schneller bewegen.

Bei sehr niedrigem Druck ist die mittlere freie Weglänge nicht mehr in der üblichen Weise anwendbar. Die Energieübertragung hängt dann von der Zahl der Stöße der Gasteilchen mit der Wand ab und sinkt mit der Gasdichte. Darauf beruht die Wärmedämmung durch Vakuum. Gase sind allgemein schlechte Wärmeleiter; Flüssigkeiten besitzen meist eine ungefähr um eine Zehnerpotenz höhere Wärmeleitfähigkeit.

Bei 20 °C betragen ausgewählte Wärmeleitfähigkeiten in W/(m·K): Silber 430, Kupfer 403, Eisen 83,5, Glas 0,76, Wasser 0,58, Öl 0,145, Luft 0,0261, Xenon 0,0051 und Helium 0,151. In Suprafluiden erfolgt der Wärmetransport nicht durch gewöhnliche Diffusion, sondern durch Temperaturpulse mit Wellencharakter. Dieser Effekt heißt zweiter Schall.

Thermische Größen und Anwendungen

Thermische Größen lassen sich häufig mit elektrischen Größen vergleichen. Die Temperaturdifferenz ΔT in Kelvin entspricht dabei der elektrischen Spannung, der Wärmestrom Q̇ in Watt dem elektrischen Strom und die Wärmestromdichte q̇ = Q̇/A in W/m² der elektrischen Stromdichte.

Wichtige thermische Größen sind:

• Wärmekapazität: C_th = Q/ΔT, Einheit J/K. • Wärmewiderstand: R_th = ΔT/Q̇, Einheit K/W. • Wärmeleitwert: G_th = Q̇/ΔT, Einheit W/K. • Spezifischer Wärmewiderstand: R_λ = 1/λ, Einheit K·m/W. • Wärmeleitfähigkeit: λ = 1/R_λ, Einheit W/(m·K). • Wärmedurchlasswiderstand einer Schicht: R = d/λ, Einheit K·m²/W. • Wärmedurchlasskoeffizient: Λ = 1/R = λ/d, Einheit W/(m²·K). • Wärmeübergangswiderstand an einer Kontaktfläche: R_s, Einheit K·m²/W. • Wärmeübergangskoeffizient: α = h = 1/R_s, Einheit W/(m²·K). • Gesamter Wärmedurchgangswiderstand: R_T = R_s + Σ_i R_i, Einheit K·m²/W. • Wärmedurchgangskoeffizient: U = 1/R_T, Einheit W/(m²·K).

Im Alltag und in der Technik wird Wärmeleitung gezielt ermöglicht oder vermindert. Bei einem Heizkörper, Wärmerohr oder Tauchsieder gelangt Wärme durch das Gehäuse nach außen. In einem Lötkolben überträgt ein gut leitendes Metall wie Kupfer die Energie vom Heizelement zur Spitze; Eisen leitet dafür nicht gut genug. Beim Stirling- oder Heißgasmotor muss die gesamte Antriebsenergie durch Wärmeleitung von einer äußeren Wärmequelle auf das Arbeitsgas übertragen werden, sodass die Wärmeleitfähigkeit der Materialien die maximal erreichbare Leistung begrenzt.

Zur Wärmedämmung werden Kühlschränke mit Glaswolle oder geschäumtem Polystyrol ummantelt. Thermoskannen und Vakuumröhrenkollektoren nutzen unter anderem ein Vakuum, um Wärmeleitung und Konvektion zu verhindern. Mehrscheiben-Isolierglas besitzt einen sehr kleinen Wärmedurchgangskoeffizienten: Die Gas- oder Luftschicht ist dick genug, um wegen der schlechten Wärmeleitung von Gasen zu dämmen, aber dünn genug, damit keine nennenswerte Konvektion entsteht. Auch der Schnee auf Pflastersteinen schmilzt schneller als auf Gras, weil Pflastersteine die Wärme besser leiten.