Absolut stetige Funktion

Grundidee und Definition

Absolute Stetigkeit ist in der Analysis eine stärkere Form der Stetigkeit. Sie beschreibt Funktionen, deren gesamte Änderung auf vielen kleinen, voneinander getrennten Intervallen klein bleibt, wenn deren Gesamtlänge klein genug ist.

Sei I⊂ℝ ein endliches reelles Intervall und f:I→ℂ. Dann heißt f absolut stetig, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, sodass für jede endliche Folge paarweise disjunkter Teilintervalle ]xₖ,yₖ[ von I mit ∑ₖ₌₁ⁿ(yₖ−xₖ)<δ gilt: ∑ₖ₌₁ⁿ|f(yₖ)−f(xₖ)|<ε.

Einordnung unter Stetigkeitsbegriffen

Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und daher insbesondere stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Die Cantor-Funktion ist stetig, aber nicht absolut stetig.

Jede Lipschitz-stetige Funktion ist dagegen absolut stetig.

Zusammenhang mit Maßen und Ableitungen

Für monoton steigende reellwertige Funktionen f:I=[a,b]→ℝ sind drei Aussagen gleichwertig:

• f ist absolut stetig auf I.
• f bildet λ-Nullmengen auf Nullmengen ab: Für jede messbare Menge A⊆I gilt λ(A)=0 ⇒ λ(f(A))=0. Dabei ist λ das Lebesgue-Maß.
• f ist λ-fast überall differenzierbar, f′∈L¹(λ) ist integrierbar und für alle x∈I gilt: f(x)−f(a)=∫ₐˣ f′(t) dλ(t).

Damit stehen absolut stetige Funktionen und absolut stetige Maße eng in Verbindung; vermittelt wird dieser Zusammenhang durch Verteilungsfunktionen. Ein Maß μ ist genau dann bezüglich λ absolut stetig, wenn die Einschränkung seiner Verteilungsfunktion auf jedes endliche Intervall I⊂ℝ absolut stetig ist.

Zwei Maße heißen äquivalent, wenn sie jeweils bezüglich des anderen absolut stetig sind: μ∼λ ⇔ μ≪λ ∧ λ≪μ.

Bedeutung für Lebesgue-Integrale

Absolute Stetigkeit erweitert den Fundamentalsatz der Analysis auf Lebesgue-Integrale. Auch nicht-monotone absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und erfüllen f(x)−f(a)=∫ₐˣ f′ dλ.

Außerdem sind sie schwach differenzierbar; ihre schwache Ableitung stimmt fast überall mit der gewöhnlichen Ableitung f′ überein.

Umgekehrt gilt für jede Funktion f:I=[a,b]→ℝ: Hat sie eine integrierbare Ableitung f′∈L¹ und gilt für alle x∈I f(x)−f(a)=∫ₐˣ f′(t) dλ(t), so ist f absolut stetig auf I. Dies liefert eine Charakterisierung der Lebesgue-Integrierbarkeit.

Optimale Steuerung

In der Theorie optimaler Steuerungen wird verlangt, dass Lösungstrajektorien absolut stetig sind.