Schwache Ableitung

Grundidee und Bedeutung

Eine schwache Ableitung ist in der Funktionalanalysis eine Erweiterung der gewöhnlichen, also klassischen oder starken Ableitung. Sie erlaubt es, auch solchen Funktionen eine Ableitung zuzuordnen, die nicht im klassischen Sinn differenzierbar sind. Das ist besonders wichtig in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, weil dort oft Funktionen auftreten, die nicht überall glatt sind, aber trotzdem sinnvoll als Lösungen behandelt werden sollen.

Die Räume schwach differenzierbarer Funktionen heißen Sobolev-Räume. Ein noch allgemeinerer Ableitungsbegriff ist die Distributionenableitung. Die schwache Ableitung ist also ein Zwischenschritt: allgemeiner als die klassische Ableitung, aber noch als lokal integrierbare Funktion beschreibbar.

Definition für reelle Funktionen

Ausgangspunkt ist eine auf einem offenen Intervall I=(a,b) klassisch differenzierbare Funktion f, deren Ableitung f′ lokal integrierbar ist, also eine L_loc^1-Funktion. Für jede Testfunktion φ ∈ C_c^∞(I), das heißt für jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger, gilt durch partielle Integration:

∫_I f′(t)φ(t) dt = -∫_I f(t)φ′(t) dt.

Die Randterme verschwinden, weil Testfunktionen am Rand wegen ihres kompakten Trägers keinen Beitrag liefern, also φ(a)=0 und φ(b)=0. Lässt man die Integrabilität von f′ weg, ist die linke Seite im Allgemeinen nicht wohldefiniert.

Die Definition der schwachen Ableitung kehrt diese Beobachtung um: Ist f selbst lokal integrierbar, also f ∈ L_loc^1(I), dann kann auch ohne klassische Differenzierbarkeit eine Funktion g ∈ L_loc^1(I) existieren, sodass für jede Testfunktion φ gilt:

∫_I g(t)φ(t) dt = -∫_I f(t)φ′(t) dt.

Eine solche Funktion g heißt schwache Ableitung von f. Man schreibt wie bei der klassischen Ableitung f′ := g. Die Ableitung wird also nicht punktweise über Grenzwerte definiert, sondern über ihr Verhalten in Integralen gegen Testfunktionen.

Höhere und mehrdimensionale Ableitungen

Schwache Ableitungen lassen sich auch für Funktionen auf höherdimensionalen Räumen definieren. Sei Ω ⊆ R^n, sei f: Ω → R lokal integrierbar, also f ∈ L_loc^1(Ω), und sei α=(α_1,...,α_n) ∈ N_0^n ein Multiindex. Ein Multiindex beschreibt, wie oft nach den einzelnen Variablen abgeleitet wird.

Eine Funktion g ∈ L_loc^1(Ω) heißt α-te schwache Ableitung von f, wenn für alle Testfunktionen φ gilt:

∫_Ω g(x)φ(x) dx = (-1)^|α| ∫_Ω f(x)D^αφ(x) dx.

Dabei ist |α| = Σ_{i=1}^n α_i und

D^α = ∂^|α| / (∂^{α_1}x_1 ... ∂^{α_n}x_n).

Häufig schreibt man g = D^α f. Statt f,g ∈ L_loc^1(Ω) kann man auch f,g ∈ L^p(Ω) für 1 ≤ p ≤ ∞ fordern. Die Teilmenge der Funktionen aus L^p, in der n ≥ 1 schwache Ableitungen existieren, ist ein Sobolev-Raum. Für Funktionen f: Ω → R^m verlangt man schwache Differenzierbarkeit in jeder der m Bildkomponenten.

Eindeutigkeit und Verhältnis zur klassischen Ableitung

Wenn eine schwache Ableitung existiert, ist sie eindeutig im L_loc^1-Sinn, also fast überall. Gäbe es zwei schwache Ableitungen g_1 und g_2, dann müsste nach der Definition für alle Testfunktionen φ gelten:

∫_I (g_1(t)-g_2(t))φ(t) dt = 0.

Nach dem Lemma von Du Bois-Reymond folgt daraus g_1 = g_2 im L_loc^1-Sinne, also bis auf eine Nullmenge. Dabei wird genutzt, dass Testfunktionen in L^p für 1 ≤ p < ∞ dicht liegen.

Bei jeder klassisch differenzierbaren Funktion f, deren Ableitung f′ eine L_loc^1-Funktion ist, existiert die schwache Ableitung und stimmt mit der klassischen Ableitung überein. Deshalb ist die schwache Ableitung wirklich eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Ableitungsbegriffs.

Ein wichtiger Unterschied ist: Die klassische Ableitung ist punktweise definiert, die schwache Ableitung dagegen für die ganze Funktion über Integrale. Punktweise muss eine schwache Ableitung nicht existieren. Gleichheit ist deshalb im L_loc^1-Sinn zu verstehen, also fast überall.

Umgekehrt kann hinreichend oft vorhandene schwache Differenzierbarkeit auch wieder klassische Differenzierbarkeit nach sich ziehen. Das beschreibt der Einbettungssatz von Sobolew: Unter gewissen Bedingungen gibt es Einbettungen eines Sobolev-Raums mit n schwachen Ableitungen in Räume k-fach differenzierbarer Funktionen C^k mit n > k ≥ 0.

Existenz und Erweiterungen

Als einfache Existenzregel nennt der Artikel: Eine absolutstetige Funktion besitzt eine schwache Ableitung. Absolutstetigkeit ist dabei eine stärkere Regularitätseigenschaft als bloße Stetigkeit und reicht aus, um eine schwache Ableitung zu garantieren.

Die Definition der schwachen Ableitung lässt sich auf unbeschränkte Mengen wie ganz R oder R^n erweitern. Außerdem kann man sie auf Räume periodischer Funktionen sowie auf Räume auf der Kugel oder auf höherdimensionalen Sphären übertragen. In einer weiteren Verallgemeinerung lassen sich auch Ableitungen gebrochener Ordnung gewinnen.

Typische Beispiele

Ein wichtiges Beispiel ist die Betragsfunktion f(x)=|x| auf einem Intervall ]a,b[ mit a<0<b. Sie ist in jedem Punkt außer x=0 klassisch differenzierbar und besitzt deshalb auf diesem Intervall keine klassische Ableitung im üblichen Sinn. Trotzdem hat sie eine schwache Ableitung. Man kann setzen:

f′(x) = -1 für x<0, f′(x)=0 für x=0 und f′(x)=+1 für x>0.

Für jede Testfunktion φ gilt dann:

∫_a^b φ′(x)f(x) dx = -∫_a^b φ(x)f′(x) dx.

Damit ist f′ eine schwache Ableitung von f. Da {0} eine Nullmenge ist und bei der Integration keine Rolle spielt, kann der Wert an der Stelle 0 beliebig gewählt werden. Die genannte Wahl ist die Signumfunktion. Die Signumfunktion selbst ist nicht mehr schwach differenzierbar, kann aber im Sinne von Distributionen abgeleitet werden.

Ein Gegenbeispiel zeigt, dass klassische Differenzierbarkeit allein nicht genügt. Die Funktion f(x)=x^2 sin(1/x^2) für x≠0 und f(0)=0 ist auf I=(-1,1) klassisch differenzierbar, aber nicht schwach differenzierbar. Ihre Ableitung ist für x≠0 gleich 2x sin(1/x^2) - (2/x) cos(1/x^2) und bei x=0 gleich 0. Diese Ableitung ist auf jeder kompakten Teilmenge von I, die 0 enthält, nicht Lebesgue-integrierbar. Deshalb ist insbesondere ∫_I f′(t)φ(t) dt nicht für alle Testfunktionen φ ∈ C_c^∞(I) wohldefiniert.