Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
65537-Eck
Das 65537-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 65.537 Punkte, die durch ebenso viele Kanten zu …
Inhalt5 Abschnitte
Definition und Erscheinungsbild
Ein 65537-Eck ist ein Vieleck mit 65.537 Punkten (Eckpunkten) und ebenso vielen Kanten, die eine geschlossene Figur bilden. Gemeint ist hier ausschließlich das regelmäßige 65537-Eck: Alle Seiten sind gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.
Wegen der sehr großen Eckenzahl ist es in einer Zeichnung fast nicht von einem Kreis zu unterscheiden; sichtbar wird der Unterschied nur bei großen Radien.
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Das regelmäßige 65537-Eck ist theoretisch allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Praktisch ist dies wegen der dichten Linien und Eckpunkte nicht durchführbar.
Die Eckenzahl erfüllt 65.537 = 2^16 + 1 und ist die größte bekannte Fermatsche Primzahl. Carl Friedrich Gauß bewies 1796: Ein regelmäßiges Vieleck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn seine Eckenzahl – abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz – ein Produkt verschiedener Fermatscher Primzahlen ist.
Johann Gustav Hermes fand 1894 nach mehr als zehn Jahren eine Konstruktionsvorschrift. Sein über 200 Seiten langes Manuskript befindet sich in einem eigens angefertigten Koffer in der Mathematischen Bibliothek der Georg-August-Universität Göttingen.
Mathematischer Hintergrund
Grundlage der Konstruktion ist die Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^65537 − 1 = 0 durch geschachtelte Quadratwurzeln. Dabei kann, wie beim Siebzehneck, die Primitivwurzel g = 3 gewählt werden.
Eine Primitivwurzel ist hier eine Zahl, mit deren Potenzen sich die für die Kreisteilung benötigten Reste erzeugen lassen.
Winkel und Seitenlänge
Der Zentriwinkel, also der Winkel zwischen zwei benachbarten Radien, beträgt 360° / 65.537 ≈ 0° 0′ 19,8″ = 0,0055°.
Der Innenwinkel an einem Eckpunkt beträgt ((65.537 − 2) / 65.537) · 180° ≈ 179° 59′ 40,2″ = 179,9945° = 180° − 0,0055°.
Im Einheitskreis beträgt die Seitenlänge 2 · sin(180° / 65.537) ≈ 9,5872 · 10^−5 LE.
Schon ein Siebzehneck nähert sich stark der Kreisgestalt an; beim 65537-Eck ist diese Annäherung noch wesentlich stärker.
Größenordnungen
An einem 12-Stunden-Zifferblatt weist die Spitze eines langsam laufenden Stundenzeigers etwa alle zwei Drittel einer Sekunde auf den nächsten Eckpunkt eines 65537-Ecks. Ein halber Tag hat dabei 43.200 Sekunden.
Der fehlende Anteil des Innenwinkels bis 180° ist genau der Zentriwinkel von etwa 0,0055°. Einen praktisch gleichen Winkel von 1/10000 rad spannt eine 10 m lange ideal biegesteife Stange auf, wenn ein Ende 1 mm vom ideal planen Boden angehoben wird.
Bei 1 cm Seitenlänge hätte das 65537-Eck einen Durchmesser von mehr als 200 m. Bei einem Durchmesser von 20 cm wäre jede Seite dagegen etwa 1/100 mm lang, also nur ein Bruchteil des Durchmessers des dünnsten menschlichen Haares.
Würde das Vieleck die Erdkugel umschreiben, wären seine Seiten etwa 600 m lang. Die Ecken lägen dann nur 7,3 mm über der Erdoberfläche beziehungsweise über dem Inkreis.