Zwei-Drittel-Gesetz

Kernaussage und Bedeutung

Das Zwei-Drittel-Gesetz, auch Gesetz des Drittels oder Gesetz der kleinen Zahlen genannt, ist ein Satz der Stochastik. Es beschreibt einen Sonderfall der Binomialverteilung bei zufälligen Ereignissen mit kleinen Erfolgswahrscheinlichkeiten. Das wichtigste Beispiel ist das Roulette: In einer Serie von 37 Spielen werden im Mittel nicht alle 37 Zahlen, sondern nur ungefähr 63 Prozent mindestens einmal getroffen. Wiederholungen führen dazu, dass andere Zahlen gar nicht erscheinen.

Das Gesetz macht deutlich, dass gleich wahrscheinliche Ergebnisse in einer kurzen Serie nicht gleich häufig auftreten müssen. Die langfristige Gleichverteilung nach dem Gesetz der großen Zahlen darf daher nicht auf eine einzelne kleine Stichprobe übertragen werden.

Berechnung beim Roulette

Beim Roulette gibt es 37 mögliche Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl in einem Spiel nicht getroffen wird, beträgt 36/37. In einer Serie von 37 unabhängigen Spielen ist sie daher

(36/37)^37 ≈ 0,363.

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl mindestens einmal getroffen wird,

1 − (36/37)^37 ≈ 0,637 = 63,7 %.

Über alle 37 Zahlen betrachtet werden während einer solchen Serie im Mittel etwa 23,6 Zahlen mindestens einmal getroffen. Genauer ergibt die Binomialverteilung folgende Verteilung:

• 36,3 %, also 13,4 Zahlen, werden nicht getroffen.
• 37,3 %, also 13,8 Zahlen, werden genau einmal getroffen.
• 18,6 %, also 6,9 Zahlen, werden genau zweimal getroffen.
• 6,0 %, also 2,2 Zahlen, werden genau dreimal getroffen.
• 1,7 %, also 0,6 Zahlen, werden viermal oder öfter getroffen.

Abweichungen der Summen von genau 100 % beziehungsweise 37 Zahlen entstehen durch Rundungen. Die Binomialverteilung modelliert das Problem mathematisch exakt. Für genau zwei Treffer einer bestimmten Zahl gilt bei n = 37, k = 2 und p = 1/37:

B(2 | 1/37, 37) = (37 über 2) · (1/37)^2 · (36/37)^35 = 666 · (1/37)^2 · (36/37)^35 ≈ 0,186.

Gleichverteilung und typischer Fehlschluss

Nach dem Gesetz der großen Zahlen besitzt langfristig jede Roulett Zahl dieselbe relative Häufigkeit von 1/37. Betrachtet man viele Serien und eine vorher festgelegte Zahl, wird diese im Mittel einmal je Serie getroffen. Daraus folgt jedoch nicht, dass in jeder einzelnen Serie von 37 Spielen jede Zahl genau einmal erscheint.

Dass alle 37 Zahlen in einer solchen Serie jeweils genau einmal getroffen werden, ist extrem unwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür lautet

37/37 · 36/37 · … · 1/37 = 37!/37^37 ≈ 1,304 · 10^−15,

also ungefähr ein Billiardstel. Eine Serie von 37 Spielen ist eine Bernoulli-Kette mit 37 Wiederholungen. Obwohl alle Zahlen in jedem Spiel gleich wahrscheinlich sind, entsteht in der gesamten Serie keine gleichmäßige Verteilung, sondern das von der Binomialverteilung bestimmte Muster. Das Zwei-Drittel-Gesetz liefert deshalb keine Gewinnstrategie für Roulette.

Verallgemeinerung durch die Poisson-Verteilung

Das Problem lässt sich näherungsweise mit der Poisson-Verteilung untersuchen. Beim Zwei-Drittel-Gesetz wird der Parameter λ = 1 verwendet. Die Aussage gilt allgemein für n voneinander unabhängige Versuche, wenn jeder Versuch n gleich wahrscheinliche Ausgänge besitzt. Ein Beispiel ist die unabhängige Verlosung von n Objekten unter n Empfängern.

Je größer n wird, desto genauer ist die Näherung. Für n → ∞ konvergiert der Anteil der Empfänger, die genau k Objekte erhalten, gegen

P(X = k) = e^−1/k!,

wobei e die eulersche Zahl ist. Der Anteil der Empfänger ohne Objekt nähert sich damit e^−1 ≈ 36,7879 %. Genau derselbe Grenzwert gilt für den Anteil der Empfänger mit genau einem Objekt. Der Anteil mit mindestens einem Objekt nähert sich folglich 1 − e^−1, also ungefähr 63,2 %. Die für n = 37 beim Roulette berechneten Werte weichen nur um 0,5 % von den Grenzwerten der Poisson-Verteilung ab.

Reiskörner und ein anderes Gesetz

Ein anschauliches Beispiel sind 64 Reiskörner, die zufällig über ein Raster aus 8 × 8, also 64 Quadraten, verteilt werden. Da im Mittel ein Korn auf jedes Quadrat entfällt, gilt λ = 1. Die Poisson-Verteilung liefert für Quadrate mit 0 bis 5 Körnern die angenäherten Erwartungswerte 23,544; 23,544; 11,772; 3,924; 0,981 und 0,196. Im dargestellten Versuch wurden tatsächlich 23 Quadrate mit keinem Korn, 25 mit einem Korn, 12 mit zwei Körnern, 2 mit drei Körnern sowie jeweils 1 Quadrat mit vier beziehungsweise fünf Körnern gezählt. Trotz der kleinen Stichprobe n = 64 liegen diese Ergebnisse nahe bei den Erwartungswerten.

Daniel Kahneman und Amos Tversky bezeichneten außerdem eine verbreitete Fehlvorstellung in den Sozialwissenschaften nicht ganz ernst gemeint als „Gesetz der kleinen Zahlen“: Man verhält sich so, als gelte das Gesetz der großen Zahlen bereits für kleine Stichproben. Gemeint ist die Kritik an statistischen Experimenten, deren Stichprobengröße nur intuitiv statt mit statistischen Methoden festgelegt wird.