Fehlschluss

Begriff und Bedeutung

Ein Fehlschluss oder Trugschluss ist in der philosophischen Logik eine Schlussfolgerung, bei der die abgeleitete Aussage nicht aus den ausdrücklich genannten oder stillschweigend angenommenen Voraussetzungen folgt. Die abgeleitete Aussage muss deshalb nicht falsch sein; der Schluss liefert lediglich keinen verlässlichen Aufschluss über ihren Wahrheitsgehalt. Ein Fehlschluss beruht auf einer fehlerhaften Anwendung von Schlussregeln und ist nach den Regeln der jeweiligen formalen Logik ungültig. Gelegentlich werden auch formal gültige Schlüsse aus falschen Voraussetzungen als Fehlschlüsse bezeichnet.

Ein absichtlich eingesetzter Fehlschluss heißt Fangschluss, Scheinargument oder Sophismus. Ein unbeabsichtigter Fehlschluss wird Paralogismus genannt. Solche unbeabsichtigten Fehler können durch kognitive Verzerrungen oder durch Urteilsheuristiken entstehen, die zwar häufig nützlich sind, in bestimmten Fällen aber zu falschen Ergebnissen führen.

Fehlschlüsse werden in Logik, Rhetorik, Sozialpsychologie sowie Denk- und Kognitionspsychologie untersucht. In der modernen philosophischen Logik werden sie häufig in eine formale Sprache übersetzt. Dadurch soll sichtbar werden, an welchem Ableitungsschritt eine formale Schlussregel verletzt wird. Eine vollständige und eindeutig systematische Einteilung ist nicht möglich, ohne eine bestimmte Theorie der Logik vorauszusetzen.

Philosophisch bedeutsam sind unter anderem der naturalistische Fehlschluss, bei dem fraglich ist, ob von deskriptiven auf normative Aussagen beziehungsweise vom Sein auf das Sollen geschlossen werden darf, und der intensionale Fehlschluss. Letzterer entsteht in Kontexten wie „A glaubt, meint oder weiß, dass …“, weil dort Ausdrücke, die dasselbe bezeichnen, nicht ohne Weiteres gegeneinander ausgetauscht werden dürfen.

Rechenfehler und typische formale Muster

Mathematische Scheinbeweise entstehen durch die falsche Anwendung von Rechenregeln. Ein bekanntes Muster ist die versteckte Division durch null. Aus der wahren Gleichung 2 · 0 = 1 · 0 darf man nicht durch 0 dividieren. Tut man es dennoch, erhält man scheinbar 2 = 1. Häufig wird der verbotene Schritt verschleiert, indem statt 0 ein Ausdruck wie (x − x) verwendet wird.

Auch die unzulässige Übertragung von Regeln auf einen anderen Zahlenbereich erzeugt Fehlschlüsse. Das Wurzelgesetz √a · √b = √(a · b), das für positive reelle Zahlen gilt, gilt bei komplexen Zahlen nicht immer. Deshalb müssen dort stets beide Quadratwurzeln berücksichtigt werden.

Weitere verbreitete formale Muster sind:

• Bejahung des Nachsatzes: Aus „Wenn die Lampe kaputt ist, ist es dunkel“ und „Es ist dunkel“ folgt nicht, dass die Lampe kaputt ist.
• Non sequitur: Die Schlussfolgerung lässt sich überhaupt nicht aus den Voraussetzungen ableiten, etwa „Das Universum hatte einen Anfang. Also hat es auch ein Ende.“
• Zirkelschluss: Das erst zu Beweisende wird selbst als Begründung benutzt.
• Appeal to Probability: Aus der Möglichkeit oder Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird fälschlich geschlossen, dass es sicher eintreten müsse.
• Conjunction Fallacy: Ein speziellerer, aus mehreren Bedingungen bestehender Fall wird für wahrscheinlicher gehalten als ein allgemeinerer Fall.
• Spielerfehlschluss: Nach einer längeren Folge ohne ein bestimmtes Zufallsergebnis wird angenommen, dieses Ergebnis müsse nun wahrscheinlicher werden.
• Ignoratio elenchi: Bewiesen wird eine andere Behauptung als diejenige, die zur Debatte steht; das Argument verfehlt das Thema.
• A dicto simpliciter ad dictum secundum quid: Eine allgemeine Regel wird fälschlich auf eine berechtigte Ausnahme angewandt.

Korrelation, Ursache und Bezugsgröße

Ein häufiger Fehlschluss besteht darin, vom gemeinsamen Auftreten zweier Sachverhalte auf ein Begründungs- oder Kausalverhältnis zu schließen. Eine Korrelation kann höchstens eine Hypothese über einen Zusammenhang liefern, die wissenschaftlich geprüft werden muss. Wird das Aufstellen einer solchen Hypothese als Schlussverfahren verstanden, heißt es Abduktion. Sie liefert eine plausible, aber keine zwingende Folgerung.

Cum hoc, ergo propter hoc („mit diesem, also deswegen“) setzt gleichzeitig auftretende Ereignisse fälschlich als Ursache und Wirkung zueinander in Beziehung. Der Sonderfall post hoc, ergo propter hoc („danach, also deswegen“) schließt aus der zeitlichen Reihenfolge auf Kausalität. So folgt der Tag regelmäßig auf die Nacht, aber nicht, weil die Nacht den Tag verursacht. Ein früheres Ereignis A kann eine notwendige, ohne eine hinreichende Bedingung für B zu sein. Beim Zusammenstoß zweier Billardkugeln ist unmittelbar nur die zeitliche Folge ihrer Bewegungsänderungen sichtbar; unter Einbeziehung der Newton’schen Bewegungsgesetze muss jedoch eine Übertragung kinetischer Energie und damit Kausalität angenommen werden.

Auch räumliche Nähe beweist keinen ursächlichen Zusammenhang. Wer weiße Bohnen neben einem Sack voller weißer Bohnen findet, kann plausibel vermuten, dass sie aus dem Sack stammen; zwingend ist diese Folgerung nicht. Das gestaltpsychologische Gesetz der Nähe erklärt, dass nahe Elemente als zusammengehörig wahrgenommen werden. Wird diese wahrgenommene Zusammengehörigkeit als Unterordnungs- oder Kausalverhältnis gedeutet, entsteht ein Fehlschluss.

Statistische Fehlschlüsse entstehen häufig durch eine irrelevante Bezugsgröße oder einen Prävalenzfehler. Aus der Häufigkeit von F unter der Bedingung G folgt nicht automatisch, dass F im Einzelfall ein guter Hinweis auf G ist. Bei der Confusion of the Inverse wird eine bedingte Wahrscheinlichkeit mit ihrer Umkehrung verwechselt. Dass die meisten Heroinbenutzer zuvor Cannabis konsumiert haben, bedeutet nicht, dass die meisten Cannabisbenutzer später Heroin nehmen; tatsächlich hat die Mehrheit der Cannabisbenutzer kein Interesse an Heroin.

Das Klapperstorch-Beispiel zeigt denselben Grundfehler: Im Frühjahr kehren die Störche zurück und zugleich steigt die Geburtenzahl. Daraus folgt nicht, dass die Störche den Anstieg verursachen. Bei einer Schnelldiagnose darf aus dem gemeinsamen Vorliegen von Rückenschmerzen und Bandscheibenvorfall ebenfalls nicht ohne weitere Untersuchung geschlossen werden, der Vorfall sei die Ursache. Selbst eine wahre Konklusion macht den Schluss nicht gültig, wenn andere Ursachen möglich bleiben.

Syllogistische Fehlschlüsse

Ein kategorischer Syllogismus ist ein Schluss mit genau drei Begriffen: Oberbegriff, Mittelbegriff und Unterbegriff. Bei der Quaternio Terminorum („Vierheit der Begriffe“) treten tatsächlich vier Begriffe auf. Der Schluss ist dann unabhängig davon ungültig, ob seine Voraussetzungen und seine Konklusion zufällig wahr sind. Im Beispiel „Alle Hunde sind Tiere. Alle Katzen sind Säugetiere. Also sind alle Katzen Tiere“ verbinden „Hunde“ und „Säugetiere“ die Aussagen nicht als ein gemeinsamer Mittelbegriff.

Oft wird der vierte Begriff durch Mehrdeutigkeit verdeckt. Bei echter Homonymie wird dasselbe Wort in verschiedenen Bedeutungen benutzt: Aus „Was einen Bart hat, kann man rasieren“ und „Schlüssel haben einen Bart“ folgt nicht, dass man Schlüssel rasieren kann, denn Barthaar und Schlüsselbart sind verschieden. Auch grammatische Mehrdeutigkeit oder ein Wechsel des Bezugssystems können diese Täuschung hervorrufen.

Eine Mehrdeutigkeit kann erst durch falsche Formalisierung entstehen. Aus „Alle Eltern lieben ihre Kinder“ und „Alle Kinder lieben Schokolade“ folgt nicht „Alle Eltern lieben Schokolade“. Die zweistellige Relation „x liebt y“ darf nicht wie ein einstelliger syllogistischer Begriff behandelt werden. Ähnlich folgt aus „Je mehr Gutes man tut, desto besser“ und „Die Arznei einzunehmen tut dem Kranken gut“ nicht, dass eine größere Arzneimenge immer besser sei: Die zweite Voraussetzung macht keine Aussage über die Dosis, und eine Überdosierung kann schädlich sein.

Bei Distributionsfehlern wird über eine ganze Klasse geschlossen, obwohl eine Voraussetzung nur einen Teil oder die Klasse als Kollektiv betrifft. Aus „Alle Vegetarier sind gesund“ und „Einige Menschen sind Vegetarier“ folgt nicht „Alle Menschen sind gesund“. Ebenso bedeutet die biologische Einordnung von Menschen als Omnivoren nicht, dass jeder einzelne Mensch Fleisch isst. Ein Mittelbegriff muss in mindestens einer Voraussetzung distribuiert sein, also für alle Mitglieder der betreffenden Klasse gelten. Aus „Alle Menschen sind Zweibeiner“ und „Einige Zweibeiner sind Vögel“ folgt daher nicht „Einige Menschen sind Vögel“.

Bei einer falschen Disjunktion werden Möglichkeiten fälschlich als einander ausschließend dargestellt. So folgt aus „Um eine Freundin wie die von Tom zu haben, musst du entweder reich oder berühmt sein“ und „Tom ist reich“ nicht, dass Tom nicht berühmt sein kann.

Die klassischen Sophismen des Eubulides sollen einen Gesprächspartner zu einer paradoxen Aussage bringen. Der Sophismus vom Gehörnten schließt aus „Was du nicht verloren hast, hast du noch“ und „Hörner hast du nicht verloren“, man habe Hörner. Beim Sophismus vom Verhüllten wird daraus, dass jemand eine verhüllte Person nicht erkennt und diese sein Vater ist, fälschlich geschlossen, er wisse nicht, wer sein Vater ist.

Fehlschlüsse bei kriminalistischen Spuren

Eine Übereinstimmung bei einer DNA-Analyse, einem Fingerabdruck oder einer anderen Spur entscheidet allein weder über Schuld noch über Unschuld. Sie ist nur ein Indiz und muss durch weitere, unabhängige Hinweise ergänzt werden. Bei DNA-Beweisen können mehrere Fehler auftreten: Ein Test kann falsch positiv sein; eine Übereinstimmung kann zufällig entstehen; das biologische Material kann von einer anderen Person hinterlegt worden sein; oder es kann aus einer anderen Zeit beziehungsweise einem anderen Zusammenhang als der Tat stammen. Ein einziger ungültiger Schritt macht die gesamte Schlusskette ungültig.

Der Trugschluss des Anklägers beruht auf einem doppelten Prävalenzfehler und einem Bezugsgrößentrugschluss. Verwechselt werden die Wahrscheinlichkeit, dass der tatsächliche Urheber einer Spur positiv getestet wird, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich der Urheber ist. Dabei bleiben die A-priori-Wahrscheinlichkeit falsch positiver Ergebnisse und die natürliche Häufigkeit eines genetischen Fingerabdrucks in einer großen Grundgesamtheit unberücksichtigt.

Eine DNA-Rasterfahndung kann deshalb allein keine ansonsten unverdächtige Person belasten. Besteht bereits aufgrund anderer, von der Spur unabhängiger Umstände ein Verdacht, kann der Test ihn erhärten oder zerstreuen. Seine Aussagekraft wächst, wenn die Grundgesamtheit möglicher Urheber kleiner wird und gesichert ist, dass der Urheber tatsächlich aus dieser Gruppe stammt. Die Aussage „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Blut am Tatort von einer anderen Person als dem Verdächtigen stammt, ist 1 zu eine Million“ ist ohne eine solche Einordnung ein Fehlschluss.

Beim Urhebertrugschluss wird zusätzlich von der Urheberschaft der Spur direkt auf die Schuld geschlossen. Die Aussage, bei einer zufälligen Übereinstimmung von eins zu einer Million betrage auch die Wahrscheinlichkeit der Unschuld eins zu einer Million beziehungsweise die Schuldwahrscheinlichkeit eine Million zu eins, verbindet den Trugschluss des Anklägers mit dem Urhebertrugschluss. Selbst wenn die Person Urheber der Spur ist, kann die Spur gelegt worden oder außerhalb des Tatzusammenhangs entstanden sein.