Rundung

Begriff, Zweck und Grundformen

Rundung ist die Ersetzung einer Zahl durch einen Näherungswert mit gewünschten Eigenschaften, die der ursprünglichen Zahl fehlen. Sie erleichtert das Lesen von Zahlen mit Nachkommastellen, ermöglicht die Darstellung in einer begrenzten Zahl von Stellen und gibt irrationale Zahlen wie π wenigstens ungefähr an. Außerdem verhindert sie Scheingenauigkeit: Die Darstellung soll nicht genauer wirken, als es die Daten erlauben.

Gerundet wird auch, um eine Zahl an eine verwendete Einheit anzupassen, etwa an die kleinste Münze, die kleinste rechnerische Währungseinheit, ganze Gramm bei Küchenwaagen oder ganze Mandate bei Sitzzuteilungsverfahren. Dabei können auch große Ganzzahlen gerundet werden, ohne die Zahl der dargestellten Ziffern zu verkürzen. Die Bundesagentur für Arbeit rundet beispielsweise die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100; die letzten beiden Stellen werden dadurch als nicht signifikant kenntlich.

Wird eine positive Zahl vergrößert, spricht man von Aufrunden, bei einer Verkleinerung von Abrunden. Bei negativen Zahlen sind diese Bezeichnungen doppeldeutig. Werden Nachkommastellen lediglich weggelassen, heißt das Abschneiden oder Abbrechen. Das Zeichen ≈ kann anzeigen, dass die folgende Zahl ein Rundungsergebnis ist.

Wichtige Rundungsregeln

Beim kaufmännischen Runden nichtnegativer Zahlen entscheidet die erste wegfallende Dezimalstelle: Bei 0, 1, 2, 3 oder 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 oder 9 aufgerundet. Die Regel ist in DIN 1333 beschrieben und wird häufig schon in der Grundschule gelehrt. Beim Runden auf zwei Nachkommastellen gilt daher 13,3749… € ≈ 13,37 €, aber 13,3750… € ≈ 13,38 €. Negative Zahlen werden nach ihrem Betrag gerundet; bei einer 5 geht das Ergebnis also von null weg: −13,3749… € ≈ −13,37 € und −13,3750… € ≈ −13,38 €. Im juristischen Umfeld wird diese Regel teilweise auch Bürgerliches Runden genannt.

Das symmetrische, auch geodätische, mathematische, unverzerrte oder wissenschaftliche Runden unterscheidet sich vom kaufmännischen Runden nur im genauen Mittelpunkt zwischen zwei möglichen Ergebnissen. Bei 0 bis 4 wird abgerundet. Bei 6 bis 9 sowie bei einer 5, auf die noch mindestens eine von null verschiedene Ziffer folgt, wird aufgerundet. Folgen auf die 5 dagegen nur Nullen, wird so gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird. Das ist die Gerade-Zahl-Regel, englisch Round to Even oder Banker’s Rounding.

Beim Runden auf eine Nachkommastelle ergeben sich beispielsweise 2,2499 ≈ 2,2, 2,25 ≈ 2,2, 2,2501 ≈ 2,3, 2,35 ≈ 2,4 und 2,45 ≈ 2,4. Das kaufmännische Runden kann kleine systematische Fehler erzeugen, weil ein Aufrunden um 0,5 vorkommt, ein entsprechendes Abrunden um 0,5 aber nicht. Das symmetrische Runden verteilt solche Entscheidungen bei stochastisch verteilten Ausgangszahlen im Mittel ungefähr gleich auf Auf- und Abrunden. Eine systematische Verzerrung ist dennoch möglich, etwa wenn kleine Zahlen häufiger vorkommen als große.

Beim summenerhaltenden Runden werden einzelne Summanden so gerundet, dass ihre Summe der gerundeten Gesamtsumme entspricht. Dafür kann es nötig sein, einzelne Summanden nicht auf den jeweils nächstgelegenen gerundeten Wert zu bringen. Anwendungen sind die Sitzzuteilung bei Verhältniswahlen und die Aufteilung der gesamten Mehrwertsteuer einer Rechnung auf einzelne Posten. Für Summanden mit positiven und negativen Vorzeichen kann ein verallgemeinertes Hare/Niemeyer-Verfahren verwendet werden: Zunächst wird auf die nächstliegenden runden Zahlen gerundet. Ist die Summe danach zu groß oder zu klein, werden ausgewählte Rundungen entgegengesetzt geändert, bis die gewünschte Summe erreicht ist; dabei soll die Summe der Beträge der Änderungen minimal sein.

Formale Beschreibung und Abschneiden

In einem dezimalen Stellenwertsystem besteht eine Zahl aus einer Folge von Ziffern aus dem Vorrat {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Ein positiver Dezimalbruch mit v Stellen vor und n Stellen nach dem Komma kann als z_v z_{v−1} … z_1,z_{−1} z_{−2} … z_{−n} geschrieben werden. Allgemein können reelle Zahlen durch unendlich lange Dezimalentwicklungen beliebig genau angenähert werden. Für eine Zahl x gilt dabei

A(j) := Σ_{i=v}^{−j} a_i 10^i (j ≥ −v),

wobei a_i der Ziffernwert von z_i ist. Die Näherungswerte A(j) steigen monoton und bleiben durch x nach oben beschränkt. Der Abbruchfehler erfüllt x − A(j) ≤ 10^(−j) und geht gegen 0; deshalb konvergiert A(j) gegen x. Die zugehörige endliche Ziffernfolge Z(j) ist jeweils ein Anfangsstück der unendlichen Darstellung. Bei einer endlichen Dezimaldarstellung werden alle späteren Ziffern als 0 betrachtet. Für negative Zahlen gilt Entsprechendes mit vorangestelltem Minuszeichen; die Folge der Näherungswerte fällt dann. Die Aussagen lassen sich auch auf Stellenwertsysteme anderer Basen übertragen.

Abschneiden oder Abbrechen nach der b-ten Nachkommastelle bedeutet, nur die ersten b Nachkommastellen zu behalten und alle weiteren wegzulassen. Formal wird die genauere Zeichenkette Z(n) durch ihr Anfangsstück Z(b) ersetzt. Für die mathematische Rundung auf die b-te Nachkommastelle reicht dieses Vorgehen jedoch nicht aus: Mindestens die nächste Ziffer z_{−b−1} muss bekannt sein. Abschneiden kann sinnvoll sein, wenn ein Messgerät zwar n Stellen anzeigt, aber nur b Stellen zuverlässig misst.

Die Gaußklammer ⌊x⌋, auch Ganzzahl- oder Abrundungsfunktion, ordnet jeder reellen Zahl die größte ganze Zahl zu, die nicht größer als sie ist. Im Dezimalsystem lautet die Abrundung auf die b-te Nachkommastelle:

⌊10^b · x⌋ / 10^b = ⌊10^b · x⌋ · 10^(−b).

Bei positiven Zahlen entspricht dies dem Abschneiden der Nachkommastellen. Die Gaußfunktion ändert das Vorzeichen nicht, kann aber eine positive Zahl auf 0 abbilden. Bei einer negativen nichtganzen Zahl ist der Betrag des Funktionswerts größer als der Betrag der Eingangsgröße. Die Aufrundungsfunktion, die obere Gaußklammer, ist definiert durch ⌈x⌉ := min{y ∈ ℤ | y ≥ x}. Auf die b-te Nachkommastelle aufgerundet wird mit ⌈10^b · x⌉ · 10^(−b).

Umgang mit gerundeten Zahlen

Ist eine Ausgangszahl selbst bereits gerundet, kann eine erneute Rundung am Grenzfall zu einem anderen Ergebnis führen. Wenn die neue Rundungsstelle 5 ist und danach nur Nullen folgen, sollte deshalb nach Möglichkeit die ursprüngliche, ungerundete Zahl verwendet werden. Ist sie bekannt, ergibt beispielsweise 13,374999747, auf zwei Nachkommastellen gerundet, 13,37; wird dagegen nur die bereits gerundete Ausgangszahl 13,3750 verwendet, ergibt die erneute Rundung 13,38. Sind keine weiteren Stellen bekannt, wird die Ausgangszahl als exakt angenommen.

In wissenschaftlichen Arbeiten und Logarithmentafeln kann gekennzeichnet werden, wie die letzte Ziffer entstanden ist. Eine durch Aufrunden erhaltene Ziffer wird mit einem Strich unter oder über der Ziffer markiert. Eine Ziffer, die durch das Runden unverändert blieb, wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet. So wird 3,4134928… zu 3,413̲5; beim erneuten Runden auf drei Nachkommastellen ist abzurunden. 2,6245241… wird zu 2,624̇5; beim erneuten Runden auf drei Stellen ist aufzurunden, deutlicher dargestellt als 2,62̲5. Für ein weiteres Runden auf zwei Stellen ist dann abzurunden.

Gerundete Zahlen in Rechnungen können die Genauigkeit des Endergebnisses begrenzen. Welche Begrenzung angemessen ist, hängt davon ab, ob die gerundete Zahl beispielsweise linear, quadratisch, exponentiell oder nur als Summand eingeht. Eine genauere Behandlung erfolgt über die Unsicherheitsfortpflanzung. Als einfache Faustregel wird das Endergebnis auf dieselbe Anzahl signifikanter Stellen gerundet wie die gerundete Eingangsgröße. Wird eine Kraft mit 12,2 Newton gemessen, sollen von ihr abhängige Endergebnisse höchstens drei signifikante Stellen besitzen. Dadurch wird keine höhere Genauigkeit vorgetäuscht, als tatsächlich vorhanden ist. Die Faustregel ist allerdings nur dann problemlos, wenn das Endergebnis proportional zur gerundeten Zahl ist.

Rundung im Computer

Gleitkommazahlen belegen im Computer nur einen begrenzten Speicherbereich und haben deshalb eine systembedingt eingeschränkte Genauigkeit. Nach Operationen wie einer Multiplikation können Zahlen entstehen, die mehr Stellen benötigen, als das vorgesehene Format, etwa IEEE 754, darstellen kann. Das Ergebnis muss daher passend gerundet werden.

Beim einfachsten Verfahren, dem Abschneiden (truncation oder chopping), bleibt die Zahl bis zu einer bestimmten Stelle erhalten; der Rest wird entfernt. Dadurch wird stets auf die nächstmögliche kleinere Zahl abgerundet. Beim Beispiel 10,11₂ = 2,75₁₀ ergibt das Runden auf null Nachkommastellen 10₂ = 2₁₀. Der Fehler beträgt 0,75₁₀. Das Verfahren ist sehr schnell, hat aber einen verhältnismäßig großen Rundungsfehler. In der digitalen Signalverarbeitung ist Abschneiden dennoch unverzichtbar, weil damit als einzigem Verfahren sicher ein instabiler Grenzzyklus durch Rundungsfehler in digitalen Filtern verhindert werden kann.

Beim kaufmännischen Runden im Computer, englisch round-to-nearest, wird vor dem Abschneiden 0,1₂ = 0,5₁₀ addiert. Aus 2,75₁₀ wird dadurch 3,25₁₀ = 11,01₂; nach dem Abschneiden bleibt 11₂ = 3₁₀. Der Fehler beträgt nur 0,01₂ = 0,25₁₀, allerdings ist dieses Verfahren positiv verzerrt.

Das mathematische Runden, englisch round-to-nearest-even, rundet Fälle mit einer genauen Hälfte zur nächsten geraden Zahl und ist im IEEE-754-Standard vorgesehen. Alternativ ist das Runden zur nächsten ungeraden Zahl möglich (round-to-nearest-odd). Das mathematische Runden hat gute numerische Eigenschaften, benötigt aber im ungünstigsten Fall eine vollständige Addition, weil sich das Übertragsbit durch alle Stellen bewegen kann. Dadurch ist es vergleichsweise langsam. Eine mögliche Umgehung ist eine vorbereitete Tabelle, aus der die gerundeten Ergebnisse direkt abgerufen werden.