Poisson-Verteilung

Grundidee und Definition

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl von Ereignissen, die unabhängig voneinander mit konstanter mittlerer Rate in einem festen Zeitintervall oder räumlichen Gebiet auftreten. Eine Zufallsvariable mit dieser Verteilung heißt Poisson-verteilt. Besonders wichtig ist sie für Zählvorgänge und als Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr vielen Versuchen mit sehr kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit. Auch die Zuwächse eines Poisson-Prozesses sind Poisson-verteilt.

Die Verteilung P_λ wird durch einen Parameter λ > 0 bestimmt. Dieser gibt die erwartete Ereignisanzahl an und ist zugleich Erwartungswert und Varianz. Für k = 0, 1, 2, … gilt

P_λ(k) = (λ^k/k!) · e^(−λ).

Dabei ist e die Eulersche Zahl und k! die Fakultät von k. Die Formel liefert die Wahrscheinlichkeit, bei einer bekannten mittleren Häufigkeit λ genau k Ereignisse zu beobachten. Der Träger ist ℕ₀, da nur nichtnegative ganze Ereigniszahlen möglich sind.

Kennwerte und Berechnung

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens n Ereignisse an:

F_λ(n) = Σ von k=0 bis n P_λ(k) = e^(−λ) Σ von k=0 bis n λ^k/k! = Q(n+1, λ).

Q bezeichnet dabei eine regularisierte Gammafunktion. Für die Einzelwahrscheinlichkeiten gilt die praktische Rekursion

P_λ(0) = e^(−λ), P_λ(k) = (λ/k)P_λ(k−1) für k = 1, 2, … .

Die Wahrscheinlichkeiten wachsen mit k, solange k < λ, und fallen für k > λ. Ist λ nicht ganzzahlig, liegt der Modus, also der wahrscheinlichste Wert, bei ⌊λ⌋. Für ganzzahliges λ gibt es die beiden Modi λ−1 und λ. Bei numerischen Problemen für große λ und k kann die Stirling-Näherung

e^[k(1+ln(λ/k))−λ] / √(2π(k+1/6))

verwendet werden. Poisson-verteilte Zufallszahlen werden üblicherweise mit der Inversionsmethode erzeugt.

Für X ~ P(λ) gelten E(X) = λ, E(X²) = λ²+λ und Var(X) = λ. Auch das dritte zentrierte Moment ist λ. Der Median besitzt keine exakte allgemeine Formel; es gilt die Abschätzung

λ−ln 2 ≤ n_median < λ+1/3.

Der Variationskoeffizient, also Standardabweichung geteilt durch Erwartungswert, beträgt 1/√λ. Die Schiefe ist ebenfalls 1/√λ. Die Wölbung beträgt 3+1/λ, der Exzess 1/λ. Daher wird die Verteilung mit wachsendem λ relativ weniger streuend und symmetrischer.

Das k-te Moment ist das vollständige Bell-Polynom m_k = B_k(λ, …, λ). Die kumulantenerzeugende Funktion lautet g_X(t) = λ(e^t−1); somit sind alle Kumulanten κ_i = λ. Weitere wichtige Funktionen sind:

• charakteristische Funktion: φ_X(s) = e^[λ(e^(is)−1)]

• wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion: m_X(s) = e^[λ(s−1)]

• momenterzeugende Funktion: M_X(s) = e^[λ(e^s−1)].

Summen, Ausdünnung und Parameterschätzung

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv: Sind X₁, …, Xₙ unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern λ₁, …, λₙ, dann ist ihre Summe wieder Poisson-verteilt, und zwar mit dem Parameter λ₁+…+λₙ. Insbesondere gilt Poi(λ₁) * Poi(λ₂) = Poi(λ₁+λ₂). Die Verteilung ist daher unendlich teilbar. Nach dem Satz von Raikow gilt auch die Umkehrung: Wird eine Poisson-verteilte Zufallsvariable als Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen dargestellt, sind auch die Summanden Poisson-verteilt.

Bei der Ausdünnung wird jedes ursprünglich gezählte Ereignis unabhängig nur mit Wahrscheinlichkeit p < 1 erfasst. Ist die ursprüngliche Zahl Poisson-verteilt mit Parameter λ, dann ist die beobachtete Zahl wieder Poisson-verteilt, nun mit Parameter pλ:

Σ von n=r bis ∞ B_n,p(r)P_λ(n) = P_pλ(r).

Das beschreibt beispielsweise Eier eines Insekts, aus denen jeweils nur mit Wahrscheinlichkeit p eine Larve schlüpft, oder unvollständig registrierte Ereignisse.

Aus N Beobachtungen n₁, …, n_N wird λ durch den Maximum-Likelihood-Schätzer

λ̂ = (1/N)Σ n_i

geschätzt. Er ist erwartungstreu, effizient und suffizient. Für einen Stichprobenwert n lautet ein Konfidenzintervall zum Niveau 1−α:

½χ²(α/2; 2n) ≤ λ ≤ ½χ²(1−α/2; 2n+2).

χ²(p; i) ist die Quantilfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit i Freiheitsgraden. Ein oberer Prognosewert, der mit Wahrscheinlichkeit p nicht überschritten wird, ist n_up = F_λ^−1(p). Da keine elementare Umkehrformel bekannt ist, kann er über eine Wertetabelle der Verteilungsfunktion bestimmt werden.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die Poisson-Verteilung entsteht als Grenzfall der Binomialverteilung. Werden n unabhängige Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p betrachtet, gilt für n → ∞ und p → 0 bei konstantem Produkt np = λ:

lim B(k | p, n) = λ^k e^(−λ)/k!.

Sie eignet sich daher zur Approximation binomialer und verallgemeinert-binomialer Modelle mit großem Stichprobenumfang und kleinen Erfolgswahrscheinlichkeiten. Poisson- und Binomialverteilung sind außerdem Spezialfälle der Panjer-Verteilung.

Für kleine λ ist die Poisson-Verteilung stark asymmetrisch. Ab etwa λ = 30 ähnelt sie einer Normalverteilung mit μ = λ und σ² = λ:

P_λ(k) ≈ [1/√(2πλ)] exp(−(k−λ)²/(2λ)).

In einem Poisson-Prozess ist die Ereigniszahl in einem festen Intervall Poisson-verteilt. Die Wartezeit bis zum n-ten Ereignis ist dagegen Erlang-verteilt; für n = 1 ergibt sich die Exponentialverteilung. Für die Verteilungsfunktionen gilt F_Erlang(n+1)+F_Poisson(n)=1.

Zur Chi-Quadrat-Verteilung besteht die Beziehung 1−F_λ(n−1) = F_2n(2λ). Sie bildet auch die Grundlage des Konfidenzintervalls für λ. Die Differenz X₁−X₂ zweier unabhängiger Poisson-Variablen ist nicht Poisson-, sondern Skellam-verteilt.

Typische Anwendungen und Beispiele

Eine Poisson-Verteilung ist besonders plausibel, wenn vier Bedingungen näherungsweise gelten:

• In einem sehr kurzen Zeitraum treten gewöhnlich keine zwei Ereignisse auf.

• Die Ereigniswahrscheinlichkeit ist proportional zur Intervalllänge.

• Sie ist unabhängig von der Lage des Intervalls, also zeitlich oder räumlich homogen.

• Ereignisse in nicht überlappenden Intervallen sind unabhängig.

Gleichwertig lässt sich dies durch exponentialverteilte, gedächtnislose Wartezeiten beschreiben. Typische Anwendungen sind Druckfehler pro Buchseite, Gespräche pro Stunde in einer Telefonzentrale, radioaktive Zerfälle, Blitzeinschläge pro Hektar und Jahr, Impfschäden pro Jahr und der V-Waffen-Beschuss Londons. Ein klassisches Beispiel von Ladislaus von Bortkewitsch sind Todesfälle durch Hufschlag in Kavallerie-Einheiten der preußischen Armee. Ob die Voraussetzungen tatsächlich gelten, muss jeweils geprüft werden.

Bei einer Uranprobe mit durchschnittlich λ = 4,5 Zerfällen pro Sekunde gilt näherungsweise P_4,5(k) = 4,5^k e^(−4,5)/k!. Beispielsweise betragen die Wahrscheinlichkeiten für k = 0, 4 und 5 Zerfälle ungefähr 0,011109, 0,189808 und 0,170827.

Bei einem Fußballspiel können die Torzahlen zweier Mannschaften vereinfacht als unabhängig Poisson-verteilt behandelt werden. Für SK Rapid Wien mit λ₁ = 1,39 und SK Sturm Graz mit λ₂ = 1,61 ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses k₁:k₂ gleich P_1,39(k₁)P_1,61(k₂). Unter den betrachteten Ergebnissen von 0:0 bis 3:3 ist 1:1 mit ungefähr 0,1114 am wahrscheinlichsten. Die Unabhängigkeit der Torzahlen ist jedoch oft nur näherungsweise erfüllt; dann kann eine bivariate Poisson-Verteilung verwendet werden.

Auch Kundenankünfte werden in Warteschlangenmodellen häufig Poisson-verteilt modelliert. Kommt im Mittel alle zehn Sekunden eine Person in ein Kaufhaus, ist λ = 6 pro Minute, λ = 360 pro Stunde und λ = 0,1 pro Sekunde. Reale Gruppenankünfte, Stoßzeiten, Überfüllung oder Busankünfte können die Annahmen verletzen.

Im Ball-Fächer-Modell werden N Bälle zufällig auf n Fächer verteilt. Die Zahl in einem festen Fach ist binomialverteilt und lässt sich bei geeigneten Größen durch eine Poisson-Verteilung mit λ = N/n annähern. Bei 66 zufällig auf 49 Quadrate verteilten Reiskörnern ist λ = 66/49 = 1,35; die Wahrscheinlichkeit für ein leeres Quadrat beträgt e^(−1,35) ≈ 0,26. Beim Roulette liefert die Verteilung außerdem eine gute Schätzung dafür, wie viele verschiedene Nummern in 37 Spielen getroffen werden.

Erweiterungen

Mehrere Verallgemeinerungen tragen ebenfalls den Namen Poisson. Die positive Poisson-Verteilung ist bei 1 nach unten gestutzt und besitzt für k ∈ ℕ die Wahrscheinlichkeit

P_λ(k) = [1/(e^λ−1)] · λ^k/k!.

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung hat zwei Formparameter und wird bei einem auf null gesetzten Parameter zur gewöhnlichen Poisson-Verteilung. Gemischte Poisson-Verteilungen kombinieren sie mit einer weiteren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Poisson-Gamma-Verteilung entspricht der negativen Binomialverteilung. Bei einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung ist die Anzahl unabhängig und identisch verteilter Summanden Poisson-verteilt; das Ergebnis kann diskret oder stetig sein.

Die freie Poisson-Verteilung ist das entsprechende Analogon in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie und wird über einen Grenzwert iterierter freier Faltungen definiert.

Die zweidimensionale oder bivariate Poisson-Verteilung modelliert zwei abhängige Zählvariablen. Ihre Randverteilungen haben die Parameter λ₁+λ₃ und λ₂+λ₃, während Cov(X₁, X₂) = λ₃ gilt. Sie lässt sich aus drei unabhängigen Poisson-Variablen Y₁, Y₂ und Y₃ mit Parametern λ₁, λ₂ und λ₃ erzeugen, indem X₁ = Y₁+Y₃ und X₂ = Y₂+Y₃ gesetzt wird. Der gemeinsame Anteil Y₃ erzeugt die Abhängigkeit. Die Differenz ist Skellam-verteilt mit den Parametern λ₁ und λ₂. Entsprechend lässt sich auch eine multivariate Poisson-Verteilung definieren.