Relative Häufigkeit

Bedeutung und Berechnung

Die relative Häufigkeit ist ein Maß der deskriptiven Statistik. Sie beschreibt den Anteil der Elemente einer Menge, bei denen eine bestimmte Merkmalsausprägung oder ein Ereignis A vorkommt. Damit lassen sich Häufigkeiten auch dann sinnvoll vergleichen, wenn Mengen oder Stichproben unterschiedlich groß sind.

Hat eine Grundgesamtheit oder Stichprobe n Elemente und tritt A darin Hₙ(A)-mal auf, so gilt:

hₙ(A) = Hₙ(A) / n

Hₙ(A) heißt absolute Häufigkeit. Die relative Häufigkeit hₙ(A) ist eine Bruchzahl zwischen 0 und 1; zur Umrechnung in Prozent wird sie mit 100 % multipliziert.

Vergleiche mit Anteilen

In Klasse A sind 24 Schüler, darunter 12 Mädchen; in Klasse B sind es 18 Schüler, darunter 9 Mädchen. Absolut gibt es in Klasse A mehr Mädchen. Relativ ist der Anteil jedoch gleich: 12/24 = 0,5 und 9/18 = 0,5. Beide Klassen bestehen also zu 50 % aus Mädchen.

Bei einer Wahlumfrage geben in Bayern 120 von 600 Befragten an, Partei A zu wählen, in Berlin 100 von 200. Die absoluten Zahlen sind wegen der verschieden großen Befragungen nicht direkt vergleichbar. Die relativen Häufigkeiten betragen dagegen 120/600 = 0,2 in Bayern und 100/200 = 0,5 in Berlin. Partei A ist in diesem Beispiel in Berlin wesentlich beliebter.

Eigenschaften und Rechenregeln

Relative Häufigkeiten liegen immer zwischen 0 und 1 und erlauben deshalb den Vergleich von Häufigkeitsverteilungen unabhängig von der Größe der Grundgesamtheit oder dem Stichprobenumfang. In der Inferenzstatistik und Stochastik dient die relative Häufigkeit als Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung.

Wichtige Regeln sind:

• 0 ≤ hₙ(A) ≤ 1.
• hₙ(Ω) = 1 für das sichere Ereignis Ω.
• hₙ(A ∪ B) = hₙ(A) + hₙ(B) − hₙ(A ∩ B).
• hₙ(Ā) = 1 − hₙ(A) für das komplementäre Ereignis, also für das Nicht-Eintreten von A.

Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeit

Nach dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses seine relative Häufigkeit bei einer großen Zahl gleicher, wiederholter und voneinander unabhängiger Zufallsexperimente. Diese „Limes-Definition“ geht auf Richard von Mises zurück. Das Experiment muss beliebig oft wiederholbar sein.

Beim 100-maligen Würfeln kann die 3 beispielsweise 15-mal auftreten, also mit relativer Häufigkeit 15 %. Bei 10.000 Würfen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei einem fairen Würfel in der Nähe der Wahrscheinlichkeiten; für die 3 etwa bei 16,7 %.

Die axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition benötigt relative Häufigkeiten nicht als Grundlage. Dennoch besteht durch die Gesetze der großen Zahlen ein enger Zusammenhang: Bei immer wiederholten Zufallsexperimenten nähert sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses in der Regel dessen Wahrscheinlichkeit an. Diese Konvergenzsätze können aus Kolmogorovs axiomatischer Wahrscheinlichkeitsdefinition bewiesen werden.