Wellenoptik – einfach erklärt

Licht als Welle

Wellenoptik, auch physikalische Optik genannt, ist der Teilbereich der Optik, der Licht als elektromagnetische Welle beschreibt. Die geometrische Optik behandelt Licht dagegen als Bündel geradliniger Lichtstrahlen. Mit der Wellenoptik lassen sich zusätzliche Phänomene erklären, insbesondere Farbe, Interferenz, Beugung und Polarisation.

Licht wird in der Wellenoptik als Transversalwelle beschrieben. Zu ihrer Kennzeichnung dienen unter anderem Wellenlänge, Amplitude und Phase. Die Wellenlänge ist der räumliche Abstand gleicher Schwingungszustände, die Amplitude beschreibt die Stärke der Schwingung, und die Phase gibt ihren Schwingungszustand an.

Jede Welle wird mathematisch als Lösung der Wellengleichung dargestellt:

∆u(r⃗,t) = (1/c²) · ∂²u(r⃗,t)/∂t²

Dabei ist ∆ der Laplace-Operator, c die Lichtgeschwindigkeit und u die von Ort r⃗ und Zeit t abhängige Wellenfunktion. Die Wellenfunktion kann skalar oder vektoriell sein. Die vektorielle Beschreibung ist notwendig, wenn die Polarisation eine Rolle spielt; ansonsten ist die skalare Beschreibung einfacher.

Beugung tritt auf, wenn Licht durch eine Öffnung oder an einer Kante vorbeiläuft. Hinter der Öffnung oder Kante entstehen im Schattenbereich helle Streifen mit abnehmender Intensität. Bei Mehrfachspalten, deren Abstände in der Größenordnung der Wellenlänge des verwendeten Lichts liegen, überlagern sich die an den einzelnen Kanten gebeugten Teilwellen. Sie interferieren miteinander. Bei sehr kurzen Wellenlängen oder sehr großen Objekten ist die Beugung dagegen vernachlässigbar, sodass die Gesetze der geometrischen Optik verwendet werden können.

Vom Wellenfeld zum Lichtstrahl

Die Wellengleichung ist über die Fouriertransformation in der Zeit t beziehungsweise der Frequenz ω mit der Helmholtzgleichung äquivalent:

(∆ + ω²/c²) û(r⃗,ω) = 0.

Dabei ist û(r⃗,ω) die Fouriertransformierte der Wellenfunktion u(r⃗,t). Mit der Wellenzahl k = ω/c ergibt sich:

(∆ + k²) û(r⃗,k) = 0.

Eine Lösung kann durch den Ansatz u(r⃗,k) = a(r⃗)e^{ikS(r⃗)} beschrieben werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Amplitude a(r⃗) nur langsam verändert: Über eine Strecke in der Größenordnung der Wellenlänge λ = 2π/k kann sie als konstant betrachtet werden.

Die Flächen kS(r⃗) = const. sind Flächen gleicher Phase und heißen Wellenfronten. Für S(r⃗) = x entsteht beispielsweise eine ebene Welle. Das Gradientenfeld ∇S(r⃗) gibt die Ausbreitungsrichtung der einzelnen Punkte der Wellenfront an. Bei der ebenen Welle gilt ∇x = (1, 0, 0)ᵀ; die Wellenfronten breiten sich daher in x-Richtung aus.

S(r⃗) heißt Eikonal. In der Nähe eines Punktes r⃗₀ kann die Welle als ebene Welle mit der Wellenzahl k₀ = k/n(r⃗₀) und der Ausbreitungsrichtung k̂ ∝ ∇S(r⃗)|r⃗₀ aufgefasst werden. Dabei ist n(r⃗₀) der Brechungsindex an diesem Ort. Die lokalen Wellenvektoren geben Ausbreitungsrichtung und Wellenzahl an; die Strahlengänge der geometrischen Optik sind mit diesen lokalen Wellenvektoren identisch.

Unter der genannten Näherung folgt die Eikonalgleichung:

(∇S(r⃗))² = n(r⃗)².

Sie besagt, dass der Brechungsindex die Phase der Welle bestimmt. Zugleich bildet sie die formale Grundlage der geometrischen Optik: Der lokale Brechungsindex legt das Gradientenfeld der Phase und damit die lokale Ausbreitungsrichtung sowie die Wellenzahl fest. Die geometrische Optik ist gültig, wenn die streuenden Objekte sehr viel größer als die Wellenlänge des Lichts sind.

Eigenschaften und Anwendungen

Bei Lasern ist die paraxiale Näherung wichtig. Laserlicht ist nahezu monochromatisch, besitzt also nahezu nur eine Wellenlänge, und ist stark gebündelt. Der Lichtstrahl bleibt dadurch über große Strecken achsennah und divergiert nur wenig. Solche Wellen sind Lösungen der Helmholtzgleichung unter der paraxialen Näherung.

Diese Näherung verlangt, dass sich die Amplitude a(r⃗) in Ausbreitungsrichtung z nicht stark ändert. Mathematisch wird die zweite Ableitung der Amplitude nach z vernachlässigt:

∂²_z a(r⃗) ≈ 0.

Eine wichtige Lösung ist die Gauß-Lösung. Die Intensität des Lichts eines Laserpointers kann dabei eine gaußverteilte Intensitätsverteilung zeigen; als dominante Mode wird TEM₀₀ genannt.

Die Farbe des Lichts entspricht im üblichen Sprachgebrauch seiner Wellenlänge. Monochromatisches Licht hat nur eine Wellenlänge, während Weißlicht eine Überlagerung vieler Wellen unterschiedlicher Wellenlängen ist. Physikalisch ist eigentlich die Frequenz der Lichtwelle für die Farbe ausschlaggebend. Die Wellenlänge hängt von der Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit vom Medium ab. Aussagen über die Farbe in Verbindung mit einer Wellenlänge setzen daher normalerweise die Ausbreitung im Vakuum voraus. In Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur geringfügig kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit, weshalb die Wellenlänge dort nur gering von der Wellenlänge im Vakuum abweicht. Die Intensität des Lichts ist proportional zum zeitlich gemittelten Quadrat der Amplitude.

Kohärenz bezeichnet eine konstante Phasenbeziehung zwischen mehreren Wellen. Kohärente Wellen können miteinander interferieren. Bei konstruktiver Interferenz verstärken sie sich, wenn beispielsweise Wellenberg auf Wellenberg trifft. Bei destruktiver Interferenz schwächen sie sich ab, wenn Wellenberg auf Wellental trifft.

Licht ist eine Transversalwelle und schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dennoch besitzt die Schwingung zwei Freiheitsgrade. Wenn sie nur in einer Ebene stattfindet oder sich regelmäßig verändert, spricht man von polarisiertem Licht. Polarisation kann nur durch die vektorielle Darstellung des Lichts als elektromagnetische Welle erklärt werden.

Eine Wellenfront ist eine Fläche, die Punkte gleicher Phase verschiedener Wellen vereinigt. Lichtstrahlen stehen stets senkrecht auf der Wellenfront.

Entwicklung und Grenzen

Schon im 17. Jahrhundert wurde erkannt, dass die Deutung des Lichts als Bündel geradliniger Strahlen unvollständig ist, weil sie Beugung und Interferenz nicht erklären kann. Christiaan Huygens bemerkte um 1650, dass eine Ausbreitung analog zu Wasserwellen diese Phänomene erklären könnte. Sein Huygenssches Prinzip besagt, dass von jedem Punkt einer beugenden Fläche kugelförmige Elementarwellen ausgehen. Durch ihre Überlagerung entstehen die beobachtbaren Beugungseffekte.

Zunächst setzte sich diese Auffassung nicht durch, weil die Korpuskeltheorie von Isaac Newton favorisiert wurde. Im 19. Jahrhundert wurde die Wellentheorie des Lichts, auch Undulationstheorie genannt, durch Thomas Youngs Doppelspaltexperiment bestätigt. Joseph von Fraunhofer und Augustin Fresnel entwickelten die Theorie weiter. Friedrich Magnus Schwerd setzte sie zur Erklärung umfassender Beugungsexperimente ein. Heinrich Hertz wies 1888 experimentell die Existenz elektromagnetischer Wellen nach und lieferte damit einen Beleg für die elektromagnetische Lichttheorie.

Die Wellentheorie erklärt jedoch nicht alle Lichtphänomene. Dazu gehört der äußere Photoeffekt, der 1887 von Wilhelm Hallwachs entdeckt und 1905 von Albert Einstein erklärt wurde. Einstein verwendete dafür die Lichtquantenhypothese. Daraus entstand die Vorstellung vom Welle-Teilchen-Dualismus: Licht zeigt je nach Erscheinung sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften. Dieser scheinbare Widerspruch ist für die moderne Quantenphysik von zentraler Bedeutung.