Schwingungslehre

Grundlagen und Einteilung

Die technische Schwingungslehre untersucht technische Schwingungssysteme, auch Oszillatoren genannt. Sie analysiert Schwingungen, teilt sie ein und beschreibt, wie sie entstehen. Das ist besonders für die sichere Auslegung schwingfähiger Bauteile im Maschinenbau, Bauingenieurwesen und in der Elektrotechnik wichtig. Schwingungen werden mit Differentialgleichungen beschrieben, die aufgestellt, interpretiert und gelöst werden müssen.

Eine Schwingung ist ein sich in gleicher Weise wiederholender Vorgang, bei dem eine physikalische Größe, etwa ein Weg oder eine Winkelauslenkung, abwechselnd zu- und abnimmt. Ein schwingendes mechanisches System heißt Schwinger. Die beobachtete Größe wird als Zustandsgröße oder verallgemeinerte Koordinate bezeichnet. Beispiele sind Pendel, Seegang, elektrische Schwingkreise und Erdbebenwellen.

Mechanische Schwingungssysteme besitzen vor allem Steifigkeit und Trägheit. Die Steifigkeit stellt eine Verformung zurück, während die Trägheit die Verformungsgeschwindigkeit aufrechterhält. Nach einer hinreichend kleinen Auslenkung im linearen Bereich kann ein sich selbst überlassenes System deshalb schwingen. Die wichtigste Kenngröße ist die Eigenkreisfrequenz; sie gibt den Takt der Eigenschwingung vor. Wird ein System mit dieser Frequenz angeregt, kann Resonanz entstehen, im Extremfall eine technisch gefährliche Resonanzkatastrophe.

Autonome Schwingungen erfolgen ausschließlich mit vom System selbst bestimmten Frequenzen. Freie Schwingungen und selbsterregte Schwingungen, etwa beim Pendel, gehören dazu. Bei heteronomen Schwingungen verändern äußere Einflüsse die Frequenzen. Erzwungene Schwingungen werden durch zeitlich veränderliche Kräfte oder Momente zu einer Frequenz gezwungen. Bei parametererregten Schwingungen ändert sich eine Systemeigenschaft mit der Zeit; eine Schaukel kann beispielsweise durch Streck- und Beugebewegungen aufgeschaukelt werden.

Die Zahl der Bewegungsfreiheitsgrade gibt an, wie viele voneinander kinematisch unabhängige Bewegungsmöglichkeiten zur eindeutigen Beschreibung des Systemzustands nötig sind. Bei diskreten Systemen werden trägheitsbehaftete Teile häufig als starr angenommen. Kontinuierliche Systeme besitzen dagegen eine kontinuierliche Massenbelegung; dort beschreibt man die Bewegungsform. Bei Balken unterscheidet man Längs- oder Longitudinalschwingungen, Quer- oder Transversalschwingungen und Verdreh- oder Torsionsschwingungen.

Lineare Systeme besitzen erregungsunabhängige Kenngrößen und erlauben die Überlagerung von Lösungen. Nichtlineare Systeme enthalten allgemeine nichtlineare Abhängigkeiten von Bewegungs- oder Kraftgrößen. Bei ihnen gibt es keine entsprechenden Invarianten; beispielsweise kann die „Eigenkreisfrequenz“ von den Anfangsbedingungen abhängen. Eine Linearisierung am Betriebspunkt liefert häufig ausreichende Ergebnisse. Die Wellenlehre behandelt räumlich ausbreitende Schwingungen; hier stehen stationäre Schwingungen, etwa beim Federpendel oder Kragbalken, im Mittelpunkt.

Periodische Schwingungen und ihre Darstellung

Bei einer periodischen Schwingung wiederholt sich der zeitliche Verlauf. Die Zeitspanne bis zur Wiederholung heißt Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer T. Ihr Kehrwert ist die Frequenz f, das 2π-Fache der Frequenz die Kreisfrequenz ω. Die Anzahl der Schwingungen pro Minute heißt Schwingungszahl n. Die Amplitude ist die maximale Auslenkung; der Spitze-Tal-Wert beträgt das Doppelte der Amplitude. Konstante Amplituden kennzeichnen ungedämpfte, abnehmende Amplituden gedämpfte und wachsende Amplituden angefachte Schwingungen.

Harmonische Schwingungen verlaufen mit Sinus oder Kosinus. Eine allgemeine Bewegungsfunktion lautet:

x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) = C sin(ωt + φ₀).

Dabei gilt A = C cos(φ₀), B = C sin(φ₀), C = √(A² + B²) und φ₀ = atan2(B,A). Geschwindigkeit und Beschleunigung sind:

ẋ(t) = ωA cos(ωt) − ωB sin(ωt) = ωC cos(ωt + φ₀),

ẍ(t) = −ω²A sin(ωt) − ω²B cos(ωt) = −ω²C sin(ωt + φ₀) = −ω²x(t).

Bei der Anfangsauslenkung x₀ und Anfangsgeschwindigkeit v₀ zur Zeit t = 0 sind A = v₀/ω, B = x₀, C = √(x₀² + v₀²/ω²) und φ₀ = atan2(x₀, v₀/ω).

Periodische Funktionen können als unendliche Summe harmonischer Funktionen dargestellt werden. Bei zwei überlagerten Schwingungen mit rationalem Kreisfrequenzverhältnis ω₁/ω₂ = p/q, wobei p und q ganzzahlig und teilerfremd sind, ist die resultierende Schwingung periodisch, aber nicht mehr harmonisch. Ihre Periodendauer ist T = pT₁ = qT₂. Bei einem irrationalen Verhältnis ist die Überlagerung nicht periodisch. Nahe beieinanderliegende Frequenzen erzeugen eine Schwebung.

Eine Fourierreihe zerlegt eine periodische Schwingung in eine Grundschwingung und ihre Harmonischen, deren Kreisfrequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind. Sägezahn- und Rechteckschwingungen bestehen aus unendlich vielen harmonischen Anteilen. Die Fourier-Analyse zerlegt Zeitsignale in Frequenzanteile und setzt sie daraus wieder zusammen. Die Fourier-Transformation liefert ein kontinuierliches Spektrum; mit der FFT kann ein zeitdiskretes Messsignal in Frequenzanteile zerlegt werden.

Komplexe Zahlen und Frequenzgang

Zur kürzeren mathematischen Beschreibung harmonischer Schwingungen verwendet man komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit j² = −1. Eine Zahl z = x + jy wird in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die Polardarstellung lautet z = r · e^(jφ), mit dem Betrag r = |z| und dem Argument φ = atan2(y,x). Das Argument beschreibt den Winkel zur positiven x-Achse. Beim Übergang z = −r springt der Hauptwert des Arguments von φ = π nach φ = −π.

Die Multiplikation von z = r · e^(jφ) mit V · e^(jζ) ergibt w = V r · e^(j(φ+ζ)). Dadurch wird der Betrag mit V multipliziert und die Zahl um ζ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die konjugiert komplexe Zahl V · e^(−jζ) bewirkt eine Drehung im Uhrzeigersinn. Physikalisch ändern komplexe Zahlen die Zusammenhänge nicht; sie vereinfachen deren Darstellung.

Bei harmonischer Erregung wird im eingeschwungenen Zustand eine Antwort im Takt der Erregung angenommen. Mit η = Ω/ω₀, dem Dämpfungsgrad D und dem Erregungsfaktor E ergibt sich der komplexe Frequenzgang:

H(jη) = E / (−η² + 2jDη + 1) = V(η)e^(−jζ(η)).

Die dimensionslose Vergrößerungsfunktion beziehungsweise der Amplitudengang ist

V(η) = E / √((1 − η²)² + (2Dη)²) = Eω₀² / √((Ω² − ω₀²)² + 4δ²Ω²).

Der Faktor E beträgt 1 bei Kraft- oder Federerregung, 2Dη bei Dämpfererregung und η² bei Erregung durch eine rotierende Unwucht. Die Antwort wird um V(η) vergrößert und um ζ(η) im Uhrzeigersinn phasenverschoben. Der Phasengang ist

ζ(η) = atan2(2Dη, 1 − η²) > 0.

Bei langsamer Erregung folgt das System nahezu in Phase. Bei Resonanz eilt die Antwort um π/2 nach und die Amplitude ist maximal. Bei steigender Erregerfrequenz nimmt die Amplitude wieder ab, während die Nacheilung bis zur Gegenphase mit π zunimmt. Ohne Dämpfung wächst der Amplitudengang bei Kraft- und Unwuchterregung für η = 1 über alle Grenzen; das ist unphysikalisch. Eine Ausnahme bilden Anlagen wie Schwingförderer und Siebmaschinen, die häufig im Resonanzbetrieb arbeiten.

Dämpfung und freie Schwingung

In realen Systemen nimmt die Amplitude freier Schwingungen durch Energiedissipation ab, bis das System zur Ruhe kommt. Dämpfung kann durch Schwingungsdämpfer, die Umgebung, Werkstoffe, Lager und Fügestellen, Schallabstrahlung oder konstruktive Eigenschaften entstehen. Viskose Dämpfung setzt eine zur Geschwindigkeit proportionale Dämpfungskraft voraus. Bei Rayleigh- oder α-β-Dämpfung gilt für viskose Dämpfer d = αm oder d = βk. Die massenproportionale Dämpfung besitzt keinen physikalischen Bezug; die federproportionale Dämpfung eignet sich zur Modellierung volumetrischer Werkstoffdämpfung, ist aber für Schallabstrahlung und Fügestellendämpfung nicht physikalisch konsistent. Bei struktureller Dämpfung ist die Dämpfungskraft proportional zur Auslenkung. Trockene Reibung besitzt eine konstante, der Geschwindigkeit entgegengesetzte Reibungskraft.

Das wichtigste lineare Modell ist der Feder-Masse-Dämpfer-Schwinger mit einem Freiheitsgrad. Für Masse m, Federsteifigkeit k, Dämpferkonstante d und Auslenkung x gilt:

mẍ(t) + dẋ(t) + kx(t) = 0.

In normierter Form lautet die homogene Schwingungsgleichung:

ẍ(t) + 2δẋ(t) + ω₀²x(t) = 0,

mit ω₀ = √(k/m), δ = d/(2m) = Dω₀ und D = d/(2√(mk)). Dabei sind ω₀ die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems, δ die Abklingkonstante und D der Dämpfungsgrad oder das Lehr’sche Dämpfungsmaß. Der Dämpfungswinkel θ = arcsin(D) ist nur für D ≤ 1 definiert.

Der Ansatz x(t) = Ae^(λt) führt auf λ₁,₂ = −δ ± √(δ² − ω₀²). Für D = 0 schwingt das System ungedämpft mit ω₀. Für 0 < D < 1 ist die Bewegung quasiharmonisch:

x(t) = e^(−δt)[A cos(ω_dt) + B sin(ω_dt)], ω_d = ω₀√(1 − D²), δ = ω₀D.

Die Quasi-Periodendauer ist T_d = 2π/ω_d. Die Amplitude nimmt mit der Einhüllenden ±Ae^(−δt) exponentiell ab. Das logarithmische Dekrement Λ = ln(x(t)/x(t+T_d)) = δT_d ist konstant. Bei D = 1 liegt kritische Dämpfung vor und x(t) = e^(−δt)(A + Bt), δ = ω₀. Bei D > 1 liegt sehr starke Dämpfung vor; die Bewegung ist eine Kombination zweier exponentieller Verläufe. Bei trockener Reibung nimmt die Amplitude je Halbschwingung um 2R/k und somit linear mit der Zeit ab. Unterschreitet sie R/k, tritt im Umkehrpunkt Haftreibung ein und die Masse bleibt stehen.

Dämpfung kann vernachlässigt werden, wenn nur niedrige Eigenfrequenzen und Resonanzgebiete eines Antriebs, Spitzenwerte nach Stoßvorgängen oder Zustände außerhalb von Resonanzgebieten interessieren. Andernfalls lässt sie sich etwa aus dem Ausschwingvorgang, dem Verlustwinkel, dem Amplitudengang in Resonanznähe oder der Hysterese im Kraft-Weg-Diagramm bestimmen.

Einfache Schwinger und Erregungsarten

Bei Krafterregung F(t) oder Fußpunkterregung mit vorgegebener Bodenbewegung x_F(t) lautet die Bewegungsgleichung des einfachen Schwingers:

mẍ(t) = F(t) − k[x(t) − x_F(t)] − d[ẋ(t) − ẋ_F(t)].

Nach Division durch m ergibt sich:

ẍ(t) + 2δẋ(t) + ω₀²x(t) = F(t)/m + ω₀²x_F(t) + 2δẋ_F(t).

Fehlt eine der jeweiligen Erregungen, wird der entsprechende Term auf der rechten Seite weggelassen. Bei beliebiger Erregung im ungedämpften Fall gilt ẍ(t) + ω₀²x(t) = F(t)/m. Eine Partikularlösung ist

x_p(t) = 1/(mω₀) · ∫₀ᵗ F(τ) sin(ω₀(t − τ)) dτ.

Sie entsteht durch die Überlagerung der Wirkungen vieler kleiner Kraftstöße. Zusätzlich können Lösungen der homogenen Gleichung addiert werden, um die Anfangsbedingungen einzuhalten.

Einfache Schwinger dienen auch als Ersatzsysteme, wenn die Rückstellkraft nicht von einer gewöhnlichen Feder oder die Trägheit nicht nur von einer Masse stammt. Dann werden Ersatzmasse m_ers und Ersatzsteifigkeit k_ers verwendet; die Verschiebung x kann durch eine verallgemeinerte Koordinate q ersetzt werden. Beispiele sind das mathematische Pendel mit k_ers = g/l, das physikalische Pendel mit k_ers = mgl/J, der Rollschwinger mit m_ers = m + J/r², das Wasserpendel mit k_ers = 2ρAg sowie Kragbalken mit einer Einzelmasse am Ende mit k_ers = EA/l für axiale Verschiebung oder k_ers = 3EI/l³ für Durchbiegung. Für einen Träger auf zwei Stützen mit mittiger Einzelmasse gilt k_ers = 48EI/l³, für einen beidseitig fest eingespannten Träger k_ers = 192EI/l³.

Parallel geschaltete Federn haben die Ersatzsteifigkeit k_ers = Σk_i. Bei Reihenschaltung addieren sich die Nachgiebigkeiten h_i = 1/k_i: h_ers = 1/k_ers = Σ(1/k_i).

Darf die Federmasse m_F nicht vernachlässigt werden, wird eine Ersatzmasse m_ers = m + κm_F angesetzt. Unter der genannten Näherung ist κ = 1/3. Bei der Biegung eines Kragbalkens gilt κ = 33/140, bei einem beidseitig aufliegenden, mittig belasteten Balken κ = 17/35.

Mehrfreiheitsgrade und Kontinua

Maschinen und Baugruppen können als Mehrkörpersystem oder mit der Finite-Elemente-Methode modelliert werden. Modelle reichen von wenigen bis zu Millionen Freiheitsgraden. Mehr Freiheitsgrade erhöhen den Rechenaufwand, aber nicht zwangsläufig die Genauigkeit; entscheidend sind die Qualität der Eingabedaten und die Erfassung der wesentlichen Einflussgrößen.

Beim Zwei-Massen-Schwinger mit Massen m₁ und m₂, eigenen Federn und Dämpfern sowie Kopplung durch k₂ und d₂ besitzt jede Masse den Freiheitsgrad x₁ beziehungsweise x₂. Kompakt lautet das Modell:

M ẍ + D ẋ + K x = F.

Dabei sind M die Massenmatrix, D die Dämpfungsmatrix, K die Steifigkeitsmatrix und F der Erregerkraftvektor. Für Federkopplung ist M diagonal und K voll besetzt; bei Massenkopplung kann K diagonal sein, während M Nebendiagonalglieder besitzt. Kreiselwirkungen führen zu schiefsymmetrischen Anteilen in D; eine rein antisymmetrische Dämpfungsmatrix bewirkt keine Dämpfung. Unter den Voraussetzungen des Satzes von Betti sind M und K symmetrisch.

Mit x = e^(λt)u entsteht ohne Erregung (λ²M + λD + K)u = 0. Bei Rayleigh-Dämpfung D = αM + βK führt dies auf ein verallgemeinertes Eigenwertproblem. Die Spektralzerlegung liefert Eigenwerte und Eigenvektoren. Bei harmonischer Erregung F = fe^(jΩt) gilt:

(−Ω²M + jΩD + K)u = f,

u = H(jΩ)f, H(jΩ) = (−Ω²M + jΩD + K)⁻¹.

H ist die komplexe Frequenzgangsmatrix und beschreibt Amplituden- und Phasengang. Beim angegebenen Zwei-Massen-Beispiel treten ein gleichsinniger Schwingungsmode bei Ω = 0,8/s, ein gegensinniger Mode bei Ω = 1,54/s und eine Antiresonanz bei Ω = 1/s auf. Bei der Antiresonanz kompensiert die Masse 1 die Erregerkraft an Masse 2 und wirkt als Schwingungstilger.

Kontinuierliche Systeme wie Balken besitzen theoretisch unendlich viele Eigenschwingungsformen. Man unterscheidet Grundschwingung und Harmonische. Für konstante Eigenschaften ergeben sich beispielsweise die Gleichungen ü = (E/ρ)u″ für Longitudinalschwingungen, ẅ = −EI/(ρA)w⁗ für Balken-Transversalschwingungen und φ̈ = GlI_t/J · φ″ für Torsion. Für Saiten gilt ẅ = S₁/(ρA)w″, für Membranen μẅ = S₂Δw und für Platten ẅ = −N/(ρh)ΔΔw.

Zur Lösung wird etwa u(x,t) = U(x)T(t) angesetzt. Bei der Longitudinalschwingung mit c² = E/ρ folgt T̈ + ω²T = 0 sowie U″ + λ²U = 0 mit λ = ω/c. Die Lösung benötigt Anfangs- und Randbedingungen. Bei Balken- und Plattenschwingungen treten vierte Ableitungen auf; deshalb sind zwei Anfangs- und vier Randbedingungen erforderlich. Bei Flächentragwerken entsteht mit derselben Methode die Helmholtz-Gleichung.