Additionssystem

Grundprinzip und Bedeutung

Ein Additionssystem ist ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Zahl durch das Addieren der Werte aller verwendeten Ziffern entsteht. Anders als im Stellenwertsystem hat die Position einer Ziffer grundsätzlich keine Bedeutung für ihren Wert.

Das einfachste Beispiel ist die Strichliste als Unärsystem. Sie besitzt nur eine Ziffer, etwa „|“. Die Zahl 3 wird als ||| geschrieben; ihr Wert ist die Anzahl der Striche. Bei großen Zahlen wird diese Schreibweise jedoch schnell unübersichtlich, weshalb zusätzliche Ziffern nötig werden.

Addieren ist in solchen Systemen einfach: Die Ziffern beider Summanden werden zusammengefügt und Gruppen gleicher oder gleichwertiger Ziffern bei Bedarf durch höherwertige Ziffern ersetzt. Überträge müssen nicht wie in Stellenwertsystemen gemerkt werden. Dagegen sind Multiplikation, Bruchrechnung und höhere Mathematik schwierig. Ist W der größte Ziffernwert, benötigt eine große Zahl Z mindestens Z/W Ziffern. Die Länge einer Zahl wächst daher asymptotisch linear mit ihrem Wert, während sie in Stellenwertsystemen logarithmisch wächst.

Ziffern für Potenzen der Basis

Bei diesem Typ besitzt jede Potenz der Basis ein eigenes Zeichen, beispielsweise E = 1, Z = 10, H = 100 und T = 1000. Die Zahl 1982 kann dann aus einem Zeichen für 1000, neun Zeichen für 100, acht Zeichen für 10 und zwei Zeichen für 1 aufgebaut werden. Die Zeichen wurden häufig graphisch geordnet.

Dieses Prinzip wurde vor etwa 5000 Jahren im alten Ägypten bei den Hieroglyphenzahlen verwendet. Ähnliche Systeme entstanden nahezu gleichzeitig in Susa während der proto-elamitischen Epoche, später bei den Minoern auf Kreta und den Hethitern sowie in meso-amerikanischen Hochkulturen. Hinweise aus Mitteleuropa stammen aus der späten Bronzezeit, dem 10. bis 13. Jh. v. Chr., aus dem heutigen Mitteldeutschland.

Nachteilig ist die wiederholte Verwendung desselben Zeichens innerhalb einer Stelle. Deshalb fassten die alten Ägypter schon Mitte des dritten Jahrtausends jede Stelle in der hieratischen Handschrift zu einer einzigen Ziffer zusammen. Die hieratischen Zahlen wurden zum Vorbild für spätere alphabetische Zahlen.

Halbzahlen und römische Zahlen

Eine weitere Entwicklung verwendet innerhalb derselben Potenz der Basis mehr als ein Zeichen, besonders für „Halbzahlen“. Dadurch muss ein Zeichen nicht so oft wiederholt werden.

Die römischen Zahlen nutzen I, X, C und M für 1, 10, 100 und 1000 sowie V, L und D für 5, 50 und 500. Die Ziffern werden normalerweise mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert: 1776 lautet MDCC.LXXVI. Grundsätzlich spielt die Reihenfolge außerhalb der Subtraktionsschreibweise keine Rolle; XII, IXI und IIX sind daher äquivalent und bedeuten 12 = 2⋅1 + 10.

Später wurde die Regel eingeführt, dass dieselbe Ziffer höchstens dreimal hintereinander stehen soll. Steht eine kleinere vor einer größeren Ziffer, wird sie abgezogen; aus VIIII wurde IX. Diese Subtraktionsregel wird jedoch nicht immer beachtet. In Westeuropa war das römische Zahlensystem bis ins 15. Jahrhundert allgemein verwendet.

Eigene Zeichen für Vielfachheiten

Die hieratischen Zahlen verwendeten für jede mögliche Vielfachheit einer Potenz der Basis eigene Ziffern. Jede Potenz hatte neun eigene Zeichen, die sich von denen anderer Potenzen unterschieden. Zeichen für nicht verwendete Potenzen, also Nullen, gab es noch nicht. Für die Zahlen 1 bis 9999 bestanden insgesamt 36 Symbole (4×9).

Mitte des vierten vorchristlichen Jahrhunderts entwickelten die alten Griechen daraus die alphabetischen Zahlen: Sie ersetzten die ersten 3×9 hieratischen Zahlen durch Buchstaben ihres Alphabets. Durch die hybride Verwendung akrophoner Zahlen konnten auch große Zahlen dargestellt werden.

Außer in den weströmischen Gebieten dominierten angepasste Formen dieses Systems lange Wissenschaft und Verwaltung in Persien, Armenien, Georgien, Arabien, Äthiopien, dem Byzantinischen Reich und im alten Russland. Indische Ziffern verdrängten es nach viertausendjähriger Dominanz allmählich: im arabischen Raum schon Ende des ersten Jahrtausends, andernorts erst Mitte des zweiten Jahrtausends.