Wirkung (Physik)

Grundidee und Einheit

Die Wirkung S ist eine physikalische Größe der theoretischen Physik. Ihre Dimension ist Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Im SI-System hat sie die Einheit J·s = kg·m^2·s^−1 und die Dimension M·L^2·T^−1. Sie hat damit dieselbe Dimension wie der Drehimpuls. In der Quantenmechanik ist sie im Gegensatz zum Drehimpuls aber nicht gequantelt.

Wichtig ist die Wirkung, weil sie physikalische Bewegungen nicht direkt über Kräfte beschreibt, sondern über ein Funktional. Ein Funktional ordnet einer ganzen Bahn, also einem möglichen zeitlichen Verlauf eines Systems, eine Zahl zu. Unter allen denkbaren Bahnen zeichnet die Wirkung die tatsächlich physikalisch durchlaufenen Bahnen aus.

Prinzip der kleinsten Wirkung

Die Bewegungsgleichungen physikalischer Bahnen lassen sich so formulieren: Wenn Anfangs- und Endpunkt im Phasenraum festgehalten werden, nimmt die Wirkung der physikalischen Bahn unter allen denkbaren Bahnen einen lokalen Extremwert an. Diese Bedingung heißt Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

„Kleinste Wirkung“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass kleine Änderungen der Bahn bei festem Anfang und Ende die Wirkung in erster Ordnung nicht ändern. Man sagt auch: Die Wirkung ist stationär. Aus dieser Stationaritätsbedingung folgen die Bewegungsgleichungen, zum Beispiel die Euler-Lagrange-Gleichungen.

Punktteilchen in der klassischen Mechanik

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung S jeder zweifach differenzierbaren Bahn Γ: t ↦ x(t) eines Punktteilchens einen Wert zu. Das Teilchen läuft dabei von einem Anfangspunkt x(t1) = unterstrichenes x zu einem Endpunkt x(t2) = überstrichenes x. Die Wirkung dieser Bahn ist das Integral

S[Γ] = ∫ von t1 bis t2 L(t, x(t), dx/dt(t)) dt.

Die Funktion L heißt Lagrangefunktion. In Newtons Mechanik ist sie für ein Teilchen der Masse m im Potential V(t,x) die Differenz aus kinetischer und potentieller Energie:

L(t,x,v) = 1/2 m v^2 − V(t,x).

Im Integral setzt man für x den Ort x(t) der Bahn zur Zeit t ein und für v die Geschwindigkeit dx/dt(t). Das Integral dieser zusammengesetzten Funktion über die Zeit ist die Wirkung der Bahn.

Bewegungsgleichung aus der Wirkung

Vergleicht man die Wirkung der physikalischen Bahn mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die denselben Anfangs- und Endpunkt haben, so ist die Wirkung der physikalischen Bahn minimal beziehungsweise stationär. Die zugehörige Bewegungsgleichung lautet

m d^2x/dt^2 + ∂x V(t,x) = 0.

Diese Gleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung S. Die Euler-Lagrange-Gleichung ist also die mathematische Bedingung dafür, dass die Wirkung bei kleinen zulässigen Änderungen der Bahn einen Extremwert annimmt.

Beispiel harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator ist ein System, das eine Schwingung ausführt, etwa ein idealisiertes Feder-Masse-System. Seine Lagrangefunktion ist

L(t,x,v) = 1/2 m v^2 − 1/2 m ω^2 x^2.

Dabei ist m die Masse, ω die Kreisfrequenz und κ = mω^2 die Federkonstante. Die physikalischen Bahnen erfüllen die Euler-Lagrange-Gleichung. Für diesen Fall verschwindet zu allen Zeiten t die Euler-Ableitung

∂L/∂x − d/dt(∂L/∂v) = −m(ω^2 x + d/dt v),

wenn x durch x(t) und v durch dx/dt ersetzt wird. Daraus folgt

−m(d^2x/dt^2 + ω^2 x(t)) = 0.

Jede Lösung hat die Form

ΓA,α: t ↦ x(t) = A cos(ωt − α),

wobei A die Amplitude und α die Phasenverschiebung der Schwingung ist. Zur Zeit t1 liegt der Ort bei A cos(ωt1 − α), zur Zeit t2 bei A cos(ωt2 − α).

Stationarität und Bedeutung

Für die Bahn des harmonischen Oszillators kann die Wirkung ausdrücklich als Integral berechnet werden:

S[ΓA,α] = ∫ von t1 bis t2 dt 1/2 m A^2 ω^2 (sin^2(ωt − α) − cos^2(ωt − α)).

Mit dem Additionstheorem cos^2 β − sin^2 β = cos(2β) ergibt sich

S[ΓA,α] = 1/4 m A^2 ω (sin 2(ωt2 − α) − sin 2(ωt1 − α)).

Betrachtet man eine leicht veränderte Bahn ΓA,α + δ mit δ(t1) = δ(t2) = 0, dann verschwindet die Änderung der Wirkung in erster Ordnung: δS = 0. Durch partielle Integration entstehen keine Randterme, weil δ an Anfang und Ende verschwindet. Damit zeigt das Beispiel: Die Wirkung jeder physikalischen Bahn ist stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist grundlegend für viele Bereiche der theoretischen Physik: die relativistische Mechanik, die Quantenmechanik einschließlich der Variationsmethode, die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik, die Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und das Standardmodell der elementaren Wechselwirkungen.