Wirkleistung

Grundidee und Definition

Die Wirkleistung ist die elektrische Leistung, die tatsächlich für die Umwandlung in andere Leistungsformen verfügbar ist, zum Beispiel in mechanische, thermische oder chemische Leistung. Sie wird von der Blindleistung abgegrenzt: Blindleistung ist für diese Umwandlung nicht verwendbar.

Die Wirkleistung wird mit P bezeichnet und in Watt angegeben. Bei gleichbleibender Spannung U und gleichbleibender Stromstärke I gilt: P = U · I.

Bei veränderlichen Momentanwerten u für die Spannung und i für die Stromstärke ist die Wirkleistung der zeitliche Mittelwert der Augenblicksleistung p. Die Augenblicksleistung ist p = u · i, daher gilt: P = p̄ = (u · i)̄. Für periodische Spannungen und Ströme wird über eine Periode der Periodendauer T gemittelt: P = 1/T · ∫ von t0 bis t0 + T u · i dt.

Sinusförmige Wechselgrößen

Ein wichtiger Anwendungsfall ist das elektrische Energieversorgungsnetz beziehungsweise Dreiphasenwechselstromnetz. Der Artikel behandelt diesen Fall: Die Spannung hat einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf, und Spannung und Strom sind Wechselgrößen mit derselben Grundfrequenz. Für diesen Fall gelten Festlegungen nach DIN 40108 und DIN 40110.

Ein sinusförmiger Stromverlauf tritt nur auf, wenn sich ausschließlich lineare Verbraucher im Netz befinden. Bei ohmschen Verbrauchern sind Spannung und Strom gleichphasig. Bei kapazitiven oder induktiven Verbrauchern entsteht zusätzlich eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der Phasenverschiebungswinkel wird mit φ bezeichnet, die Kreisfrequenz mit ω = 2πf.

Für sinusförmige Spannung und sinusförmigen Strom ergibt sich aus den Effektivwerten U und I: P = U · I · cos φ. Der Faktor cos φ beschreibt, welcher Anteil von Spannung und Strom zur Wirkleistung beiträgt. Die Komponente I · cos φ der Stromstärke I heißt Wirkstromstärke.

Die Augenblicksleistung enthält dabei zwei Teile: einen zeitunabhängigen Anteil U · I · cos φ, also die Wirkleistung, und einen mit doppelter Frequenz schwingenden Anteil mit der Amplitude S = U · I. Diese Größe S heißt Scheinleistung. Der Mittelwert des schwingenden Anteils ist null.

Komplexe Leistung und Vorzeichen

In der Wechselstromrechnung wird häufig mit Zeigern in der komplexen Ebene gerechnet, weil dies einfacher ist als das Rechnen mit trigonometrischen Funktionen. Dazu wird die komplexe Scheinleistung S̲ definiert. Sie fasst Wirkleistung P und Blindleistung Q in einer komplexen Größe zusammen: S̲ = P + jQ = U̲ · I̲* = 1/2 · û̲ · î̲*. Dabei ist I̲* der konjugiert komplexe Effektivwert der Stromstärke.

Die Scheinleistung S ist der Betrag der komplexen Scheinleistung. Sie ist die pythagoreische Summe aus Wirkleistung und Blindleistung: S² = P² + Q². Die Wirkleistung P ist der Realteil, die Blindleistung Q der Imaginärteil der komplexen Scheinleistung.

Bei den üblichen Zählrichtungen für Spannung und Strom ist die Wirkleistung positiv, wenn Energie vom Erzeuger zum Verbraucher fließt. Die Augenblicksleistung p kann trotzdem zeitweise negative Werte haben; dann wird kurzzeitig Energie zurückgespeist. Dadurch wird die Wirkleistung kleiner als die Scheinleistung, bleibt aber positiv. In Netzen mit mehreren Quellen und Lasten kann sich die Richtung des Energieflusses zwischen Netzabschnitten auch grundsätzlich umkehren. Dann kann durch Vorzeichenumkehr auch P < 0 sinnvoll sein.

Wenn die Spannung sinusförmig ist, der Strom aber nicht sinusförmig verläuft, bleibt P = U · I · cos φ nur eingeschränkt gültig: I und φ müssen dann Parameter der Grundschwingung des Stromes sein. Oberschwingungen gehen nicht in P ein.

Messung im Netz

Ein Leistungsmesser besitzt einen Strompfad und einen Spannungspfad. Er multipliziert die Augenblickswerte von Spannung und Stromstärke und mittelt über die Augenblickswerte des Produkts. Damit misst er gemäß der Definition die Wirkleistung. Elektromechanische Messwerke wurden dafür durch elektronische Messumformer abgelöst.

Jedes Messgerät hat einen Messbereich, der nicht überschritten werden darf, weil sonst keine Fehlergrenze garantiert wird. Zusätzlich gibt es Nennwerte für Spannung und Stromstärke, die nur geringfügig nach Herstellerangaben überschritten werden dürfen, weil das Gerät sonst beschädigt werden kann. Eine solche Überlastung kann auch auftreten, ohne dass der Messbereich überschritten wird.

Für eine vorzeichenrichtige Messung müssen Strompfad und Spannungspfad korrekt angeschlossen werden. Im Regelfall |φ| < 90° gelten nach DIN 43807 die in den Schaltplänen festgelegten Pfeilrichtungen: der Strom im Strompfad von links nach rechts und die Spannung am Spannungspfad von unten nach oben. Wenn ein negativer Messwert entsteht, aber nicht ausgegeben werden kann, kann bewusst die Richtung am Spannungspfad oder Strompfad vertauscht werden.

Ein reales Messgerät hat Eigenverbrauch: im Strompfad durch einen Spannungsabfall wie beim Strommessgerät und im Spannungspfad durch eine Stromaufnahme wie beim Spannungsmessgerät. Deshalb muss beim realen Messgerät zwischen Erzeuger-Wirkleistung und Verbraucher-Wirkleistung unterschieden werden. Im Einphasennetz gibt es zwei Anschlussmöglichkeiten; keine misst exakt die reine Erzeuger- oder Verbraucher-Wirkleistung. In der bevorzugten oberen Schaltung trägt der Erzeuger den Verbrauch des Spannungspfades, der Verbraucher den Verbrauch des Strompfades.

Drehstrommessung

Im Drehstromnetz unterscheidet der Artikel mehrere Fälle. Der umfassendste Fall ist der Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter und drei Außenleitern, wie er im Niederspannungsnetz mit U1N = 230 V beziehungsweise U12 = 400 V verbreitet ist. Bei beliebiger Belastung können in den drei Außenleitern Ströme mit unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Phasenverschiebungen zur jeweiligen Bezugsspannung fließen. Die Gesamtwirkleistung ist dann die Summe der drei einzelnen Wirkleistungen: P = U1N · I1 · cos φ1 + U2N · I2 · cos φ2 + U3N · I3 · cos φ3. Messbar ist dies mit drei Leistungsmessern oder einem Kombinationsgerät.

Im Dreileiter-Stromkreis fehlt der Neutralleiter. Daher gilt i1 + i2 + i3 = 0. Daraus folgt, dass bei beliebiger Belastung zwei Leistungsmesser ausreichen, wenn sie in Aronschaltung betrieben werden: P = (u12 · i1)̄ + (u32 · i3)̄ = P1 + P3. Dabei gilt P1 = U12 · I1 · cos δ1 und P3 = U32 · I3 · cos δ3. Die Winkel sind δ1 = φ1 + 30° zwischen U̲12 und I̲1 sowie δ3 = φ3 − 30° zwischen U̲32 und I̲3.

Für die Aronschaltung ist wichtig: Ein Leiter, nach DIN 43807 der Leiter L2, kann formal als Rückleiter aufgefasst werden. P1 und P3 haben keine anschauliche Einzelbedeutung, auch nicht im Vorzeichen; bei reiner Blindlast ist zum Beispiel P = 0, aber P1 = −P3 ≠ 0. Außerdem ist wegen U12 = √3 · U1N zu beachten, ob ein Leistungsmesser, der für U1N ausgelegt ist, die höhere Spannung U12 verträgt. Wird die Spannung mit Vorwiderstand oder Spannungswandler um den Faktor 1/√3 vermindert, muss der Messwert rechnerisch um √3 vergrößert werden.

Bei symmetrischer Belastung genügt ein Leistungsmesser für den Leistungsbezug durch einen Außenleiter. Die gesamte Leistung ist dann das Dreifache: P = 3 · U1N · I1 · cos φ1. Im Dreileiter-Stromkreis muss dafür ein künstlicher Sternpunkt geschaffen werden, mit zwei Widerständen, die genauso groß sind wie der Widerstand des Spannungspfades im Leistungsmesser.

Weitere Kennwerte

Der Artikel nennt mehrere verwandte Größen nach DIN 40110-1:1994. Der Leistungsfaktor gilt allgemein und ist |P|/S = λ. Er beschreibt das Verhältnis des Betrags der Wirkleistung zur Scheinleistung.

Bei sinusförmigen Größen heißen weitere Verhältnisse: Verschiebungsfaktor |P|/S = |cos φ|, Wirkfaktor P/S = cos φ und Blindfaktor Q/S = sin φ. Für Kondensatoren und Spulen wird außerdem der Verlustfaktor verwendet: |P/Q| = tan δ.