Wellenfunktion

Grundidee und Bedeutung

Die Wellenfunktion beschreibt in der Wellenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Systems aus einem oder mehreren Teilchen. Meist schreibt man sie als komplexwertige Funktion von Ort und Zeit, ψ(r⃗,t). Bei n Teilchen fasst r⃗=(r⃗₁,r⃗₂,…,r⃗ₙ) die Ortskoordinaten aller Teilchen zusammen; zusätzliche Freiheitsgrade wie der Spin können hinzukommen.

Die Wellenfunktion selbst ist nicht direkt messbar. Nach der Kopenhagener Deutung enthält sie jedoch alle physikalisch möglichen Informationen über die messbaren Größen eines Zustands. Da einzelne Messergebnisse häufig nicht vorhersagbar sind, liefert sie Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Das Betragsquadrat |ψ(r⃗₁,…,r⃗ₙ,t)|² gibt die gemeinsame räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, die Teilchen zur Zeit t an den angegebenen Positionen anzutreffen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss durch Normierung gleich 1 sein.

Nur bei einem einzelnen Teilchen lässt sich ψ als Welle im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Bei N Teilchen lebt sie im 3N-dimensionalen Konfigurationsraum, dessen Koordinaten alle möglichen Teilchenpositionen erfassen. Sie ist dabei ein einziges Wellenfeld im 3N-dimensionalen Raum, nicht N voneinander unabhängige Wellen im gewöhnlichen Raum.

Erwin Schrödinger führte die Wellenfunktion 1926 auf Grundlage der von Louis de Broglie vorgeschlagenen Materiewelle ein. Ihre räumliche Form und zeitliche Entwicklung bestimmt die Schrödinger-Gleichung beziehungsweise in weiterentwickelten Theorien etwa die Pauli-, Dirac- oder Klein-Gordon-Gleichung. Ob die Wellenfunktion über ihre Rolle als mathematisches Hilfsmittel hinaus ein realer Gegenstand ist, wird weiterhin kontrovers diskutiert.

Wellenbild und Zustandsarten

In der klassischen Mechanik wird ein System aus N punktförmigen Teilchen durch einen Punkt im 3N-dimensionalen Konfigurationsraum beschrieben, der sich auf einer Trajektorie bewegt. Schrödinger orientierte sich an der Beziehung zwischen geometrischer Optik und Wellenoptik: So wie ein Lichtstrahl eine Näherung einer Wellenbewegung ist, sollte die klassische Teilchenbahn als Näherung einer umfassenderen Wellenmechanik verstanden werden.

Die Einstein-de-Broglie-Beziehungen verknüpfen bei einem freien Teilchen Frequenz und Wellenlänge der Materiewelle mit Energie und Impuls. Für gebundene Systeme suchte Schrödinger stehende Wellen. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist eine Eigenwertgleichung: Ihre Lösungen geben die Amplitude der stehenden Welle an, während die erlaubten Energien als Eigenwerte erscheinen. Für ein anziehendes Coulomb-Potential fand Schrödinger räumlich konzentrierte Lösungen nur für bestimmte Energien unterhalb E=0. Beim Wasserstoffatom stimmten diese genau mit den Energien der stationären Zustände des Bohrschen Atommodells überein; außerhalb eines Bereichs von der Größe des Atoms fallen die Wellenfunktionen exponentiell ab.

Wellenfunktionen mit wohldefinierter Energie E, sogenannte Energieeigenzustände, lassen sich in einen ortsabhängigen Faktor und den zeitabhängigen Phasenfaktor exp(−iEt/ℏ) zerlegen; ℏ ist die reduzierte Planck-Konstante. Gebundene stationäre Zustände besitzen diskrete, also gequantelte Energien. Bei ausreichend hoher Energie kann ein Streuzustand aus einer einlaufenden Welle und einer vom Kraftfeld erzeugten auslaufenden Kugelwelle bestehen. Ein räumlich konzentriertes Wellenpaket zerfließt im Allgemeinen schnell, wenn es nicht von einem Kraftzentrum zusammengehalten wird.

Der Doppelspalt zeigt die statistische und wellenartige Bedeutung: Einzeln aus derselben nahezu punktförmigen Quelle ausgesandte Elektronen treffen an unterschiedlichen Stellen auf. Ihre Verteilung bildet dennoch Interferenzstreifen mit der durch die Einstein-de-Broglie-Beziehungen bestimmten Wellenlänge.

Mathematische Definition und Dynamik

Formal sind Wellenfunktionen die Entwicklungskoeffizienten des normierten Zustandsvektors |ψ⟩ in einer gewählten Basis: ψ(x⃗,t)=⟨x|ψ(t)⟩ und ψ̃(p⃗,t)=⟨p|ψ(t)⟩. Dabei gehören ⟨x| und ⟨p| zu den Orts- beziehungsweise Impulseigenzuständen. Diese erfüllen x̂|x⟩=x|x⟩ und p̂|p⟩=p|p⟩ und entsprechen idealisierten, physikalisch nicht realisierbaren Zuständen mit exakt bestimmtem Ort oder Impuls. Der Zustandsvektor kann aus beiden Basen aufgebaut werden: |ψ⟩=∫d³x⃗ |x⟩ψ(x⃗) und |ψ⟩=∫d³p⃗ |p⟩ψ̃(p⃗). Seine Normierung bedeutet 1=⟨ψ|ψ⟩=∫d³x⃗ ψ*(x⃗)ψ(x⃗)=∫d³p⃗ ψ̃*(p⃗)ψ̃(p⃗).

Die basisunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet iℏ∂ₜ|ψ⟩=[p̂²/(2m)+V(x̂)]|ψ⟩. Im Ortsraum wird daraus iℏ∂ₜψ(x⃗,t)=−ℏ²/(2m) Δψ(x⃗,t)+V(x⃗)ψ(x⃗,t), mit Teilchenmasse m, Laplace-Operator Δ und ortsabhängigem Potential V(x⃗). In der Ortsbasis ist der Ortsoperator ein Multiplikationsoperator und der Impulsoperator ein Differentialoperator; in der Impulsbasis sind diese Rollen vertauscht. Weil die Bewegungsgleichung linear ist, ist jede Superposition von Lösungen wieder eine Lösung.

Im Impulsraum ist ψ̃(p⃗,t) über eine Fourier-Transformation mit der Ortswellenfunktion verbunden: ψ̃(p⃗,t)=∫d³x⃗ ψ(x⃗,t)e^(−ip⃗·x⃗), mit p⃗=ℏk⃗. Nach dem Satz von Plancherel bleibt die Normierung bei dieser Transformation erhalten.

Messungen und Erwartungswerte

Messbare Größen werden durch Operatoren dargestellt. Nach der Kopenhagener Deutung kollabiert die Wellenfunktion bei einer Messung instantan auf die Eigenfunktion |φ⟩ des Messoperators Φ̂, die zum gemessenen Eigenwert φ gehört. Für einen Ausgangszustand |ψ⟩ beträgt die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses P=|⟨φ|ψ⟩|²=|∫d³x⃗ φ*(x)ψ(x)|². Dies ist die Bornsche Wahrscheinlichkeitsregel in der hier dargestellten Form.

Das Skalarprodukt zweier Zustände entspricht im Ortsraum einer Integration über den gesamten Raum. Zwei Wellenfunktionen heißen orthogonal, wenn dieses Integral für ihr Produkt verschwindet. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs beziehungsweise des entsprechenden Messergebnisses gleich Null.

Der Erwartungswert, also der Mittelwert sehr vieler gleichartig vorbereiteter Messungen, ist ⟨Φ̂⟩=⟨ψ|Φ̂|ψ⟩. In der allgemeinen Ortsdarstellung lautet er ⟨Φ̂⟩=∫d³x⃗∫d³x⃗′ ψ*(x⃗)Φ(x,x′)ψ(x⃗′). Für einen lokalen Operator gilt Φ(x⃗,x⃗′)=Φ(x⃗)δ⁽³⁾(x⃗−x⃗′); dann vereinfacht sich dies zu ⟨Φ̂⟩=∫d³x⃗ ψ*(x⃗)Φ(x⃗)ψ(x⃗).

Wahrscheinlichkeitsdeutung für Teilchensysteme

Für ein Teilchen in einer Raumdimension ist ψ(x) eine komplexe Funktion auf den reellen Zahlen. |ψ(x)|² ist die Ortswahrscheinlichkeitsdichte. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall [a,b] zu finden, ist ∫ₐᵇ|ψ(x)|²dx. Da das Teilchen bei einer Ortsmessung irgendwo gefunden werden muss, gilt ∫₋∞^∞|ψ(x)|²dx=1.

In drei Raumdimensionen ist ψ(x,y,z) komplexwertig und |ψ(x,y,z)|² eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte. Für ein Volumen R ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ∫ᴿ|ψ(x,y,z)|²dV, und über den gesamten Raum gilt ∫|ψ(x,y,z)|²dV=1.

Für zwei unterscheidbare Teilchen in drei Dimensionen hängt die Wellenfunktion von sechs Variablen ab: ψ(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂). Die Wahrscheinlichkeit, Teilchen 1 in R und Teilchen 2 in S zu finden, lautet ∫ᴿ∫ˢ|ψ|²dV₂dV₁, mit dV₁=dx₁dy₁dz₁ und entsprechend dV₂. Über alle sechs Variablen ist ∫|ψ|²dV₂dV₁=1. Entscheidend ist, dass nur das Gesamtsystem eine wohldefinierte Wellenfunktion besitzen muss. Die Wahrscheinlichkeit für Teilchen 1 kann deshalb untrennbar von der Position von Teilchen 2 abhängen; dies wird Quantenverschränkung beziehungsweise Quanten-Nichtlokalität genannt.

Im eindimensionalen Impulsraum wird |ψ(p)|² entsprechend als Impulswahrscheinlichkeitsdichte gedeutet. Für [a,b] beträgt die Wahrscheinlichkeit ∫ₐᵇ|ψ(p)|²dp, und es gilt ∫₋∞^∞|ψ(p)|²dp=1.

Freies Teilchen und Spin

Die Wellenfunktion eines freien Teilchens kann als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden: ψ(x⃗,t)=∫[d³k⃗/(2π)³] A(k⃗)e^{i(ωt−k⃗·x⃗)}. Der Wellenvektor k⃗ legt Richtung und Wellenlänge fest, A(k⃗) ist die komplexe Amplitude und ω(k⃗) die Kreisfrequenz. Für ein verschwindendes Potential gilt die Dispersionsrelation ω(k⃗)=ℏk⃗²/(2m). Die Amplituden müssen so gewählt werden, dass ∫d³x⃗|ψ(x⃗,t)|²=∫[d³k⃗/(2π)³]A*(k⃗)A(k⃗)=1. Eine gaußförmige Einhüllende A(k⃗)=[1/√(2πσ²) · e^(−k⃗²/(2σ²))]^(1/2) beschreibt ein Teilchen mit minimaler Orts-Impuls-Unschärfe und dem Impulserwartungswert ⟨p⃗⟩=0. σ bezeichnet die Breite des Wellenpakets im Impulsraum.

Für ein Spin-½-Teilchen wie das Elektron besteht die Wellenfunktion ohne räumliche Freiheitsgrade aus dem Spaltenvektor ψ⃗=[c₁,c₂]ᵀ. In der üblichen Basis gilt |ψ⟩=c₁|↑ᶻ⟩+c₂|↓ᶻ⟩. |c₁|² und |c₂|² sind die Wahrscheinlichkeiten, bei einer Messung Spin in beziehungsweise entgegen der z-Richtung zu erhalten. Daher muss |c₁|²+|c₂|²=1 gelten.