Materiewelle

Grundidee und Bedeutung

Eine Materiewelle beschreibt das wellenartige Verhalten von Teilchen und zusammengesetzten Körpern, aus denen Materie besteht. Der Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn dieses Verhalten nicht mehr zu der klassischen Vorstellung eines Massenpunkts mit genau bestimmter Bahnkurve passt. Materiewellen werden auch De-Broglie-Wellen genannt.

Louis-Victor de Broglie stellte die grundlegende Theorie 1924 in seiner Dissertation vor. Seine Idee erweitert den Welle-Teilchen-Dualismus: Licht besitzt sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften, und umgekehrt sollen sich auch Teilchen unter geeigneten Bedingungen wie Wellen verhalten. Die Welleneigenschaften zeigen sich insbesondere durch Beugung und Interferenz.

In der Quantenmechanik wird einem Teilchen kein vollständig bestimmter Ort zugeordnet. Stattdessen beschreibt die Wellenfunktion den Zustand des Teilchens. Das Betragsquadrat ihres Funktionswerts gibt an einem bestimmten Ort die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen dort anzutreffen. Eng lokalisierte Wellenpakete erklären dabei die Eigenschaften, die man im Alltag klassischen Teilchen zuschreibt.

Historische Entwicklung

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde Licht überwiegend als elektromagnetische Welle beschrieben, genauer durch die Maxwell-Gleichungen von 1864. Materie stellte man sich dagegen als Ansammlung stark lokalisierter Teilchen mit einer wohlbestimmten Masse vor, die der Newtonschen Mechanik von 1687 folgen.

Felix Klein erkannte 1891 eine mathematische Verwandtschaft zwischen Optik und Mechanik. Die Bahn eines Teilchens in der klassischen Punktmechanik ließ sich möglicherweise ähnlich behandeln wie der Weg eines Lichtstrahls in der Optik. Dieser Gedanke blieb zunächst weitgehend unbeachtet.

Max Planck nahm 1900 an, dass Licht bei der Wärmestrahlung nur in bestimmten diskreten Energiequanten emittiert und absorbiert wird. Albert Einstein nutzte diese Quantenhypothese 1905 zur Erklärung des photoelektrischen Effekts und folgerte, dass Licht selbst aus einzelnen Energiepaketen besteht. Diese Lichtquanten werden heute Photonen genannt. Die Vorstellungen wurden unter anderem durch Experimente von Robert Millikan und Arthur Compton bestätigt und führten zur Quantentheorie.

Einstein erkannte, dass Licht zugleich als Welle und als Teilchenstrom beschrieben werden muss. De Broglie übertrug dieses Prinzip 1924 auf Materieteilchen: Auch einer klassischen Teilchenbewegung sollte eine Phasenwelle zugeordnet werden. Ihre Wellenlänge sollte vom Impuls abhängen. Im Bohrschen Atommodell entspricht der Umfang der kleinsten Kreisbahn des Elektrons genau einer Wellenlänge.

1927 wiesen Clinton Davisson und Lester Germer sowie unabhängig davon George Paget Thomson die Beugung und Interferenz von Elektronen an dünnen Metallfolien nach. Damit war der Welleneigenschaft bewegter Materie erstmals experimentell bestätigt. 1926 verallgemeinerte Erwin Schrödinger die Materiewelle zur Wellenfunktion. Max Born deutete im selben Jahr deren Betragsquadrat als Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Einstein-de-Broglie-Beziehungen

Für ein Photon der Wellenlänge λ gelten nach Einstein die Beziehungen E = h c / λ und p = E / c = h / λ. Dabei ist h die Planck-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit.

De Broglie wendete den Zusammenhang umgekehrt auf Materieteilchen an. Jedem Teilchen mit dem Impuls p wird eine Wellenlänge zugeordnet: λ = h / p. Diese grundlegende Beziehung heißt De-Broglie-Gleichung. Zusammen mit der Frequenz ν lautet sie: λ = h / p, ν = E / h.

In der Quantenmechanik verwendet man häufig die Wellenzahl k = 2π / λ und die Kreisfrequenz ω = 2πν. Mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ħ = h / 2π und dem dreidimensionalen Wellenvektor p⃗ ergeben sich: p⃗ = ħ k⃗ E = ħω.

Für nichtrelativistische Teilchen folgt aus dem klassischen Zusammenhang zwischen Impuls und kinetischer Energie die Dispersionsrelation E = p² / 2m ⇔ ω = ħ k² / 2m. Sie ist quadratisch und unterscheidet sich damit von der linearen Dispersionsrelation masseloser Objekte.

Bei hohen Geschwindigkeiten müssen relativistische Formeln verwendet werden. Mit dem Lorentzfaktor γ = 1 / √(1 − v²/c²) lauten Energie und Impuls: E = γmc², p⃗ = γm v⃗. Daraus folgen λ = h / (γmv) = (h / mv) √(1 − v²/c²) und ν = γmc² / h = (mc² / h) / √(1 − v²/c²).

Mit Vierervektoren lassen sich beide Beziehungen zusammenfassen: p^μ = (E/c, p⃗) = ħ k^μ, wobei k^μ = (ω/c, k⃗) der Vierer-Wellenvektor ist. Die relativistische Dispersionsrelation lautet: E = √(|p⃗|²c² + m²c⁴) ⇔ ω = √(|k⃗|²c² + m²c⁴/ħ²). Für kleine Impulse im Vergleich zu mc erhält man nach Abzug der konstanten Ruheenergie mc² wieder die nichtrelativistische quadratische Dispersionsrelation. Im hochrelativistischen Fall gilt dagegen ω = c|k⃗|, was auch für masselose Teilchen gilt.

Experimenteller Nachweis und Anwendungen

Jedem Teilchen und jedem zusammengesetzten Körper kann eine Materiewelle zugeordnet werden. Treffen diese Wellen auf geeignete Strukturen, können Beugung und Interferenz entstehen.

Die ersten Nachweise gelangen 1927 durch das Davisson-Germer-Experiment und durch die unabhängig durchgeführten Untersuchungen von George Paget Thomson. Elektronen zeigten dabei an dünnen Metallfolien wellenartige Beugung und Interferenz. Die Beobachtungen bestätigten insbesondere die De-Broglie-Formel. 1959 realisierte Claus Jönsson an der Universität Tübingen einen eindrucksvollen Doppelspaltversuch mit Elektronen. Heute kann der Wellennachweis von Elektronen bereits im Schulunterricht mit einer Elektronenbeugungsröhre durchgeführt werden.

Der Wellencharakter wurde später auch bei großen Molekülen nachgewiesen. Wellenphänomene der Materie werden unter anderem in folgenden Bereichen genutzt:

• Elektronenbeugung zur Untersuchung von Materialien,
• Atominterferometrie,
• Atomlaser,
• Neutroneninterferometrie.

Die Untersuchung von Analoga optischer Phänomene und Experimente mit Materiewellen wird allgemein als Atomoptik bezeichnet.

Materiewellen im Alltag und Ausblick

Bei makroskopischen Alltagsgegenständen spielen Materiewellen praktisch keine beobachtbare Rolle. Wegen ihrer großen Masse besitzen solche Gegenstände selbst bei kleinen Geschwindigkeiten einen großen Impuls. Nach λ = h/p ergibt sich daher eine extrem kleine Wellenlänge, die weit unter den Abmessungen der Gegenstände liegt. Welleneigenschaften werden aber nur sichtbar, wenn die Welle auf Strukturen trifft, deren Abmessungen ungefähr im Bereich ihrer Wellenlänge liegen.

Als bislang größte Materieobjekte, bei denen bis 2026 Interferenzstreifen experimentell nachgewiesen wurden, gelten Natrium-Nanocluster mit einem Durchmesser von etwa 8 nm. Sie bestehen aus rund 7 000 Atomen und haben eine Masse von ungefähr 172 kDa, also in der Größenordnung größerer Proteine. Zahlenmäßig noch deutlich größere Quantenobjekte sind Bose-Einstein-Kondensate, ultrakalte Atomwolken aus über 100.000 Atomen, die zur Interferenz gebracht werden können.

Trotzdem beruhen Alltagsgeräte auf den Eigenschaften von Materiewellen. Bei einer LED-Lampe wechseln Elektronen im Halbleitermaterial an einem p-n-Übergang von einem Energieband in ein anderes. Dabei geben sie einen vom Material abhängigen Energiebetrag ab, durch den jeweils ein Photon mit einer bestimmten Wellenlänge erzeugt wird. Der Energieabstand der Bänder wird durch die Wirkung des regelmäßig angeordneten Kristallgitters auf die Materiewellen der Elektronen erklärt.

Die Quantenmechanik beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit durch das Quadrat der Wellenfunktion. Im nichtrelativistischen Fall erfüllt diese die Schrödingergleichung. Ein weitergehender Ansatz versucht, den Begriff des punktförmigen klassischen Teilchens vollständig aus der Quantenmechanik zu entfernen und die beobachteten Phänomene ausschließlich durch Wellenpakete aus Materiewellen zu erklären.