Stehende Welle

Grundidee und Entstehung

Eine stehende Welle oder Stehwelle ist eine Welle, bei der die Orte maximaler Auslenkung und die Orte ohne Auslenkung feststehen. Sie entsteht durch die Überlagerung zweier gegenläufig fortschreitender Wellen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude. Diese Wellen können von zwei verschiedenen Erregern ausgehen oder dadurch entstehen, dass eine fortschreitende Welle an einem Hindernis reflektiert wird.

Orte ohne Auslenkung heißen Schwingungsknoten oder Wellenknoten, bei Betrachtung der Bewegung auch Schnelleknoten. Orte mit großer Schwingungsweite heißen Schwingungsbäuche oder Wellenbäuche, entsprechend auch Schnellebäuche. Die Amplitude bezeichnet dabei die maximale Auslenkung.

Ein typisches mechanisches Beispiel ist ein Seil, dessen eines Ende auf und ab bewegt wird. Dadurch läuft zunächst eine Welle über das Seil. Ist das andere Ende befestigt, wird die Welle dort reflektiert und läuft zurück. Hin- und rücklaufende Welle überlagern sich. Das Seil scheint dann nicht mehr als Ganzes fortschreitende Wellen zu tragen, sondern schwingt mit ruhenden Knoten und stark bewegten Bäuchen.

Knoten, Bäuche und Wellenlänge

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenknoten oder zwischen zwei benachbarten Wellenbäuchen beträgt jeweils die halbe Wellenlänge λ der ursprünglichen fortschreitenden Wellen. Zwischen einem benachbarten Knoten und Bauch liegt daher eine Viertel-Wellenlänge.

Bei einer Erzeugung durch zwei gleichphasige, also synchron schwingende Erreger befindet sich genau in ihrer Mitte ein Amplitudenbauch: Beide Wellen treffen dort gleichzeitig ein und verstärken sich. Eine Viertel-Wellenlänge davon entfernt unterscheiden sich ihre Ankunftszeiten um eine halbe Schwingungsperiode. Die Wellen sind dort gegenphasig, löschen sich aus und bilden einen Amplitudenknoten.

Für den Abstand d vom Mittelpunkt gelten deshalb:

• Bauch: d = n · λ/2 mit n = 0, 1, 2, …

• Knoten: d = (n + 1/2) · λ/2 mit n = 0, 1, 2, …

Bei manchen stehenden Wellen müssen zwei physikalische Größen unterschieden werden. Ihre Knoten und Bäuche sind gegeneinander um eine Viertel-Wellenlänge verschoben. Bei elektromagnetischen Wellen betrifft dies die elektrische und die magnetische Feldstärke, bei Schallwellen den Schalldruck und die Schallschnelle, also die Bewegungsgeschwindigkeit der schwingenden Teilchen. Deshalb sind genauere Begriffe wie Druckbauch, Druckknoten, Schnellebauch und Schnelleknoten sinnvoll.

Energie und begrenzte Systeme

Bei vollständiger Reflexion wird die von der hinlaufenden Welle transportierte Energie zurückgeworfen. In einem Wellenleiter mit einer dadurch entstandenen idealen stehenden Welle findet insgesamt kein Energietransport statt. Bei nur teilweiser Reflexion überlagern sich ein stehender und ein fortschreitender Anteil; dann wird Energie transportiert.

Zwischen zwei Reflektoren sind nur bestimmte Wellenlängen möglich. Die zugehörigen Frequenzen heißen Eigenfrequenzen oder Eigenresonanzen. Welche Wellenlängen zugelassen sind, bestimmen die Randbedingungen, also die Bedingungen an den Begrenzungen des Systems.

Bei einer an beiden Enden fest eingespannten Saite muss an jedem Ende ein Schwingungsknoten liegen. So entstehen bestimmte Schwingungsformen: die Grundschwingung sowie höhere Schwingungen, zu denen der erste und der zweite Oberton gehören.

Bei einer stehenden elektromagnetischen Welle muss die elektrische Feldstärke an einem reflektierenden Leiter null sein; dort liegt für die magnetische Feldstärke stets ein Schwingungsbauch. Im resultierenden stehenden Feld sind elektrisches Feld und magnetisches Feld um 90° phasenverschoben. Dagegen sind E- und H-Feld innerhalb der jeweils hin- beziehungsweise rücklaufenden Welle phasengleich.

Bei einer stehenden akustischen Longitudinalwelle, bei der die Teilchen längs zur Ausbreitungsrichtung schwingen, befindet sich an jeder reflektierenden Wand eines Raums ein Schalldruckbauch. Solche räumlichen Eigenschwingungen werden als Raummoden bezeichnet. In der Akustik wird überwiegend der Schalldruck betrachtet.

Stehwellenverhältnis und besondere Formen

Das Stehwellenverhältnis, englisch standing wave ratio (SWR), ist ein Maß für den Anteil stehender Wellen auf einem elektrischen Leiter.

Stehende Wellen können auch nur vorübergehend entstehen: Treffen kurze Wellenzüge aufeinander, besteht die stehende Welle lediglich während ihrer Begegnung. Bei einer kreisförmigen stehenden Welle muss das Verhältnis von Umfang zu Wellenlänge ganzzahlig sein.

Akustische stehende Wellen lassen sich beispielsweise in einem beschallten Glasrohr mit Styroporkügelchen sichtbar machen. Auch größere Teilchen wie Wassertropfen können durch die Molekülbewegung beeinflusst werden und sich in den Schwingungsknoten sammeln. Dazu kann ein Schallreflektor unter den Tropfen eine stehende Welle erzeugen; der Abstand zwischen Wandlerstirnfläche und Reflektor muss zur Wellenlänge in Luft passen.

In einem einseitig offenen konischen Rohr können verschiedene stehende Wellenformen auftreten. Bei den sichtbaren Druckbäuchen in der Nachbrennerflamme eines J58-Triebwerks ist zu beachten, dass die einzelnen Machschen Knoten nicht zu einer einzigen stehenden Welle gehören: Jede austretende Gasscheibe besitzt eine nur kurz anhaltende stehende Welle und hat beim Passieren eines Machschen Knotens jeweils einen Druckbauch.

Anwendungen

Stehende Wellen treten in vielen Bereichen auf oder werden gezielt genutzt:

• In Hohlraumresonatoren bilden sich stehende elektromagnetische Wellen, beispielsweise in Teilchenbeschleunigern.

• Sie spielen bei der quantenmechanischen Erklärung des Wasserstoffatoms eine Rolle.

• Bei Saiten- und Holzblasinstrumenten bestimmen stehende Wellen die möglichen Schwingungsformen und Töne. Auch Chladnische Klangfiguren beruhen auf entsprechenden Schwingungsmustern.

• In Konzertsälen versucht man unerwünschte Resonanzen durch stehende Wellen möglichst zu vermeiden. Angestrebt wird eine für alle Frequenzen gleichmäßig hohe Dämpfung.

• Ein optischer Resonator stabilisiert die Wellenlänge und damit die „Farbe“ des Laserlichts.

• Rhythmische stehende Schwingungen des Wassers in Seen, Buchten oder Hafenbecken werden Seiche genannt.