Massenverteilung

Bedeutung der Massenverteilung

Die Massenverteilung ist die räumliche Verteilung der Masse innerhalb eines Festkörpers oder eines klar abgrenzbaren Fluids, also einer Flüssigkeit oder eines Gases. Sie kann mathematisch oder durch Koordinaten beschrieben werden, beispielsweise als abgegrenzte Masseeinheiten, als Verteilung von Massenpunkten oder als radialsymmetrische Dichtefunktion. Eine Dichtefunktion gibt an, wie viel Masse in einem Volumenbereich enthalten ist.

Sie ist wichtig, weil sie die Lage des Schwerpunkts, das Trägheitsmoment und das dynamische Verhalten eines Körpers bestimmt oder beeinflusst. Das Trägheitsmoment beschreibt, wie stark sich ein Körper einer Änderung seiner Drehbewegung widersetzt. Auch Eigenschwingungen sowie das Schwerepotential im Inneren und außerhalb eines Körpers hängen von der Massenanordnung ab, besonders bei asymmetrischer Verteilung. Aus Bahnstörungen von Satelliten kann daher auf den inneren Aufbau von Planeten geschlossen werden.

In der Technik beeinflusst die Massenverteilung ebenfalls die Stabilität: Bei Schiffen ist entscheidend, wie das vom Rumpf eingeschlossene Volumen zur Massenverteilung liegt. Davon hängen Auftrieb und Stabilität im Wasser ab.

Fluide und Dichte

Auch bei flüssigen und gasförmigen Körpern ist die Massenverteilung bedeutsam. Für kleine Volumina oder inkompressible Flüssigkeiten auf der Erde kann man meist eine homogene, also gleichmäßige, Verteilung von Molekülen oder Atomen annehmen. Bei größeren betrachteten Volumina, besonders in vertikaler Richtung, muss der Zusammenhang zwischen Dichte und Druck genauer modelliert werden. Dabei sind Gasgesetze und der Kompressionsmodul relevant. In Meteorologie und Ozeanografie müssen außerdem Strömungen berücksichtigt werden.

In der Astronomie werden Massen- und Dichteverteilungen sehr ausgedehnter Fluide untersucht, etwa bei interstellarem Gas, Dunkelwolken, Gasplaneten und im Inneren von Sternen. Inhomogene, also räumlich unterschiedliche, Massenverteilungen sind unter anderem für Entstehung und Entwicklung von Sternen sowie für den inneren Aufbau von Planeten wichtig.

Modelle rotierender Körper

Für Himmelskörper und ihr physikalisches Verhalten werden Modelle verwendet, die das Innere durch viele Massenpunkte und deren gegenseitige Gravitation simulieren. Bei Körpern hoher Temperatur müssen zusätzlich Thermodynamik, magnetische und andere Wechselwirkungen berücksichtigt werden. Im Inneren von Sternen kommen energiereiche Strahlung und kernphysikalische Vorgänge hinzu.

Schalenförmig aufgebaute Körper niedriger Temperatur lassen sich mit Methoden der Potentialtheorie oder mit hydrostatischen Gleichgewichtsfiguren beschreiben. Dabei besitzen die einzelnen Schalen jeweils eine homogene Massenverteilung und damit konstante Dichte.

Bei rotierenden Körpern wie Rädern, Wellen, Maschinenteilen, der Erde oder anderen Himmelskörpern wirkt sich die Massenverteilung stark auf Verformung und Stabilität aus. Beispiele sind die Unwucht eines Rades, die Abplattung und die Polbewegung der Erde. Eine extrem ungleiche Verteilung kann durch Risse und ungleichmäßige Fliehkraft zum Bruch führen.

Dichteverlauf von Planeten

Aus Volumen und Masse eines Planeten ergibt sich seine mittlere Dichte: Die Erde hat beispielsweise 5,52 g/cm³, Jupiter 1,33 g/cm³. Weil der Druck zum Zentrum hin steigt, muss auch die Dichte nach innen zunehmen. Sind Rotationsdauer und Abplattung bekannt, kann der innere Dichteverlauf mit Gleichgewichtsfiguren bestimmt werden. Die Bestimmung wird genauer, je niedriger die Satellitenbahn verläuft.

Ein einfaches Erdmodell ist das homogene MacLaurin-Ellipsoid. Mit den Erdparametern Rotation 1 Sterntag und Dichte 5,52 ergibt es eine Abplattung von 1:231. Die tatsächliche Erdabplattung beträgt jedoch 1:298,25; der Äquatorradius ist 6378,13 km, der Polradius 6356,74 km. Der Unterschied entsteht, weil der Erdkern wesentlich dichter als der Erdmantel ist und weniger zur Fliehkraft beiträgt. Das zweischalige Wiechert-Modell mit Dichten von etwa 4 und 12 g/cm kommt den tatsächlichen Verhältnissen näher. Weitere Dichteparameter erlauben auch eine genaue Darstellung des Trägheitsmoments der Erde.

Bei Jupiter mit mittlerer Dichte 1,3 g/cm³ und Rotationsdauer 9,9 Stunden ist ein starker Dichteanstieg nötig, um die Abplattung von 1:16 zu erklären. Saturn hat bei ähnlicher Rotation und noch geringerer Dichte sogar die Abplattung 1:10. Beim kleinen und unsymmetrischen Mars ist die Methode wegen geringer Fliehkraft sowie der Tiefländer im Norden und Krater- und Hochländer im Süden weniger geeignet. Seine Präzessionsbewegung der Rotationsachse ermöglicht jedoch eine Abschätzung der Gesteinsdichte des Kerns.

Sterne, Galaxien und Medizin

In der Astronomie kann Massenverteilung auch die Häufigkeitsverteilung der Massen von Sternen in einer Sternpopulation bedeuten. Sternmassen werden meist in Einheiten der Sonnenmasse angegeben. Bei Galaxienhaufen werden die Massen der beteiligten Galaxien statistisch oder physisch in Klassen gegliedert. Aus einer „zu raschen“ Bewegung innerhalb solcher Haufen kann auf zusätzliche dunkle Massen geschlossen werden; diese werden Dunkle Materie genannt.

In der Medizin können bildgebende Verfahren Massenverteilungen in Organismen untersuchen. Genannt werden die Röntgendiagnostik und die Computertomografie.