Temperaturleitfähigkeit

Bedeutung der Temperaturleitfähigkeit

Die Temperaturleitfähigkeit beziehungsweise Temperaturleitzahl a, gelegentlich auch Wärmediffusivität, ist eine Materialeigenschaft. Sie beschreibt, wie sich eine räumliche Temperaturverteilung durch Wärmeleitung im Verlauf der Zeit verändert, wenn ein Temperaturgefälle besteht.

Sie ist mit der Wärmeleitfähigkeit λ verwandt: Während λ den Energietransport beschreibt, ist a für die zeitliche Ausbreitung beziehungsweise Veränderung der Temperatur im Material wichtig. Mathematisch ist a der Transportkoeffizient des Wärmeleitproblems.

Definition und Einheit

Die Temperaturleitfähigkeit ist definiert durch:

a = λ / (ρ · c)

Dabei ist λ die Wärmeleitfähigkeit, ρ die Dichte und c die spezifische Wärmekapazität. Die spezifische Wärmekapazität gibt an, wie viel Wärmeenergie benötigt wird, um 1 kg eines Stoffes um 1 K zu erwärmen.

Die SI-Einheit von a ist m²/s; im US-amerikanischen Raum ist auch ft²/h üblich. Da λ, ρ und c temperaturabhängig sind, ist auch die Temperaturleitfähigkeit eine temperaturabhängige Stoffeigenschaft.

Wärmeleitungsgleichung

Die Temperatur T(x⃗,t) in einem Körper kann mit dem Fourierschen Gesetz und der daraus folgenden Wärmeleitungsgleichung beschrieben werden. Sie beruht auf dem Zusammenhang, dass die Änderung des Wärmeinhalts eines Raumgebietes als Wärmestrom durch dessen Hülle fließt.

Für isotrope Körper – also Körper mit gleichen Eigenschaften in allen Richtungen – mit inhomogener Wärmeleitfähigkeit und konstanter Wärmekapazität pro Volumen gilt:

∂T(x⃗,t)/∂t = ∇[a(x⃗,T) · ∇T(x⃗,t)]

x⃗ ist der Ortsvektor. ∇, der Nabla-Operator, steht für Ortsableitungen. Für homogene, isotrope Medien und eine temperaturunabhängige Temperaturleitfähigkeit vereinfacht sich die Gleichung zu:

∂T(x⃗,t)/∂t = a · ΔT(x⃗,t)

Δ ist der Laplace-Operator und wird hier auf die Temperatur angewendet. Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt allgemein Transportprozesse wie Diffusion oder das Wandern einer Temperaturverteilung infolge eines zeitlich begrenzten Temperaturgefälles. Beide Gleichungsformen gelten nur, wenn im Körper keine Wärme entsteht oder verbraucht wird; andernfalls ist ein Quellterm erforderlich.

Technische Anwendung und typische Werte

Instationäre, also zeitlich veränderliche Temperaturverteilungen lassen sich oft nicht analytisch berechnen. Deshalb werden Wärmeleitprobleme häufig numerisch mit der Finite-Elemente-Methode berechnet. Das Ergebnis sind Temperaturfelder, aus denen sich etwa die räumliche Ausdehnung von Bauteilen und örtliche Eigenspannungen ableiten lassen. Temperaturfeldrechnungen sind daher wichtig für technische Auslegungen, bei denen vorübergehende thermische Eigenspannungen bedeutsam sind.

Bei Wärmeisolationen mit wechselnden Temperaturgefällen soll nicht nur der Wärmestrom gering sein: Der Dämmstoff soll auch ein geringes Temperaturleitvermögen besitzen. Bei einer Feuerschutztür bestimmt die Zeit bis zum Durchdringen der Hitze ihre Widerstandsfähigkeit. Bei einer Hausisolierschicht, etwa im nach Süden gerichteten Dachbereich, kann ein geringes Temperaturleitvermögen verhindern, dass sich der Innenraum bei zeitweiliger Sonneneinstrahlung erwärmt.

Ausgewählte Werte bei 20 °C zeigen große Unterschiede: Aluminium hat a = 98,8 mm²/s, Kupfer 117 mm²/s, Silber 173 mm²/s und Diamant 1.160 mm²/s. Dagegen liegen Acrylglas bei 0,108 mm²/s, Holz (Nadelholz, radial) bei 0,1–0,12 mm²/s, Korkplatten bei 0,115 mm²/s und Wasser bei 0,14 mm²/s. Für poröse Stoffe wie Holz und Dämmstoffe sind nur grobe Durchschnittswerte möglich, weil insbesondere Wärmeleitfähigkeit und Dichte stark variieren können.