Vorzeichentabelle

Grundidee und Zweck

Eine Vorzeichentabelle ist in der Mathematik eine Methode, um eine Ungleichung zu lösen oder die Vorzeichen (+ bzw. −) einer Funktion zu ermitteln und tabellarisch darzustellen. Sie zeigt, in welchen Bereichen eine Funktion positiv, negativ oder gleich null ist.

Aufbau und Anwendung

Die Methode beruht auf den Vorzeichenregeln für Produkte und Quotienten: Die Multiplikation oder Division zweier Faktoren mit gleichem Vorzeichen ergibt einen positiven Term; bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich ein negativer Term. Eine Ungleichung kann gelöst werden, indem die der entsprechenden Gleichung zugrunde liegende Funktion ausgewertet wird.

In der Tabelle werden zeilenweise die einzelnen Faktoren der Funktion eingetragen. Für jeden Faktor wird sein Vorzeichen in Abhängigkeit von den Werten der Variable angegeben. Nullstellen werden durch einen durchgezogenen vertikalen Strich gekennzeichnet. Werte außerhalb des Definitionsbereichs markiert man durch einen vertikalen Doppelstrich.

Nach der Untersuchung des Vorzeichens einer Ableitung kann die Tabelle außerdem den Verlauf einer Funktion darstellen: ob sie monoton steigend oder fallend ist. Auch lokale Extremwerte können grafisch eingetragen werden. In Frankreich gehört die Vorzeichentabelle als „tableau de signes“ fest zum gymnasialen Mathematikprogramm.

Beispiel einer Ungleichung

Zu lösen ist die Ungleichung

1/x² ≤ 1/(2−x),

die für x ∈ ℝ \ {0, 2} definiert ist. Zunächst wird alles auf eine Seite gebracht und anschließend als ein Bruch geschrieben:

1/x² − 1/(2−x) ≤ 0 ⇔ (−x² − x + 2)/(x²(2−x)) ≤ 0 ⇔ ((−x+1)(x+2))/(x²(2−x)) ≤ 0.

In die Vorzeichentabelle werden die vier Faktoren −x+1, x+2, x² und 2−x eingetragen. Aus ihren einzelnen Vorzeichen ergibt sich das Vorzeichen des gesamten Quotienten. Dabei werden die kritischen Stellen −2 und 1 als Nullstellen sowie 0 und 2 als Werte außerhalb des Definitionsbereichs berücksichtigt.

Die Lösungsmenge lautet daher: L = ]−∞, −2] ∪ [1, 2[.