Volumenintegral

Grundidee

Ein Volumenintegral, auch Dreifachintegral genannt, ist ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung. Es dient dazu, eine Funktion über ein dreidimensionales Integrationsgebiet zu integrieren. Dabei wird eine Funktion f(\vec r) dreimal hintereinander integriert, jeweils über eine Koordinate eines dreidimensionalen Raumes. Obwohl der Name „Volumenintegral“ nahelegt, dass immer das Volumen eines geometrischen Körpers berechnet wird, kann das Integrationsgebiet auch eine andere Bedeutung haben.

Zur verkürzten Schreibweise wird oft nur ein Integralzeichen verwendet. Die Volumenintegration erkennt man dann am Volumenelement d^3r = dV:

\iiint_V f(\vec r), d^3r = \int_V f(\vec r), dV.

Für eine kartesische Beschreibung im dreidimensionalen Raum \mathbb R^3 hängt die Funktion mindestens von drei Variablen ab, also von \vec r = (x,y,z). Auch höherdimensionale Räume sind möglich. Das Symbol V kommt dabei doppelt vor: dV bezeichnet das Volumenelement, während V als Integrationsgebiet verwendet wird.

Wichtige Begriffe

Ein skalares Volumenintegral liegt vor, wenn der Integrand f eine skalare Funktion ist, also jedem Punkt eine einzelne Zahl zuordnet. Ist der Integrand ein Vektorfeld, zum Beispiel \vec f = (u,v,w), dann entsteht ein vektorielles Volumenintegral. Dieses ist ein Vektor, dessen Komponenten aus den drei eindimensionalen Volumenintegralen der einzelnen Komponenten u, v und w bestehen.

Das Integrationsgebiet ist das dreidimensionale Integrationsvolumen V. Das Differential im Volumenintegral, zum Beispiel dV, ist ebenfalls dreidimensional. Anschaulich kann man es als infinitesimales, also unendlich kleines, Volumen verstehen.

Die Grundidee ist: Das Volumenintegral summiert alle Funktionswerte von f, gewichtet mit dem jeweiligen Volumenelement. Man stellt sich dazu das Volumen in N kleine Elemente \Delta V_i zerlegt vor. In jedem dieser kleinen Teile ist die Funktion näherungsweise konstant. Im Grenzwert erhält man das Riemannsche Integral:

\int_V f, dV = \lim_{N\to\infty,, \Delta V_i\to 0} \sum_{i=1}^{N} f(r_i), \Delta V_i.

Setzt man f = 1, dann ergibt das Volumenintegral das Volumen des Integrationsgebiets selbst.

Koordinatentransformationen

Volumenintegrale werden oft durch eine geeignete Wahl der Koordinaten vereinfacht. Statt kartesischer Koordinaten (x,y,z) verwendet man zum Beispiel Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten. Dabei muss nicht nur die Funktion umgeschrieben werden, sondern auch das Volumenelement. Der zusätzliche Faktor im neuen Volumenelement berücksichtigt, dass die kleinen Volumenelemente in den neuen Koordinaten anders aussehen.

Bei Kugelkoordinaten gilt:

x = r sin\theta cos\varphi, y = r sin\theta sin\varphi, z = r cos\theta.

Das Volumenelement wird dadurch zu:

dV = r^2 sin\theta, dr, d\theta, d\varphi.

Mit \tilde f(r,\theta,\varphi) = f(x,y,z) lautet das Integral:

\iiint_{V_{Kart}} f(x,y,z), dx, dy, dz = \iiint_{V_{Kug}} \tilde f(r,\theta,\varphi), r^2 sin\theta, dr, d\theta, d\varphi.

Bei Zylinderkoordinaten (\rho,\varphi,z) gilt:

x = \rho cos\varphi, y = \rho sin\varphi, z = z.

Das Volumenelement ist dann:

dV = \rho, d\rho, d\varphi, dz.

Mit \tilde f(\rho,\varphi,z) = f(x,y,z) erhält man:

\iiint_{V_{Kart}} f(x,y,z), dx, dy, dz = \iiint_{V_{Zyl}} \tilde f(\rho,\varphi,z), \rho, d\rho, d\varphi, dz.

Anwendungen und Beispiele

Volumenintegrale sind besonders in der Physik wichtig. Mit ihnen lassen sich aus Dichten die jeweils zugrunde liegenden Größen berechnen. Aus einer Ladungsdichte kann man zum Beispiel die elektrische Ladung bestimmen, aus einer Massendichte die Masse eines Körpers. Das ist besonders nützlich, wenn die Dichte nicht überall gleich verteilt ist.

Auch der gaußsche Integralsatz, der vor allem in der Elektrodynamik eine wichtige Rolle spielt, beruht auf einem Volumenintegral. Ein weiteres Beispiel ist die Maxwell-Boltzmann-Verteilung: Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags ergibt sich durch Volumenintegration über die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors. Dies zeigt, dass ein Volumenintegral nicht immer über ein gewöhnliches geometrisches Volumen laufen muss.

Wenn der Integrand auf dem gesamten Integrationsvolumen konstant gleich 1 ist, erhält man das Volumenmaß:

vol(V) = \iiint_V dV.

Als typische Beispiele nennt der Artikel die Berechnung des Volumens einer Kugel, die Berechnung des Trägheitsmoments einer homogenen Vollkugel und die Herleitung der Geschwindigkeitsverteilung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.