Unendlichzeichen

Bedeutung und mathematische Funktion

Das Unendlichzeichen ∞ ist ein mathematisches Zeichen für Unendlichkeit. Es ähnelt einer liegenden Acht. In der modernen Mathematik bezeichnet es vor allem potentielle Unendlichkeit: Eine Größe wird nicht als tatsächlich vorhandene unendlich große Zahl aufgefasst, sondern kann beliebig groß werden.

Bei einer Folge a₁, a₂, …, die gegen den Grenzwert a strebt, schreibt man:

lim_{n→∞} a_n = a

Dabei bedeutet n → ∞, dass die natürliche Zahl n beliebig groß werden soll. Das Zeichen ∞ selbst ist keine natürliche Zahl. Für eine unendliche Reihe, also eine unendliche Summe von Folgengliedern, gilt:

∑{i=1}^{∞} a_i = lim{n→∞} ∑_{i=1}^{n} a_i

Eine Folge kann auch bestimmt divergieren, also ohne endlichen Grenzwert nach oben wachsen. Dann schreibt man für reelle Zahlenfolgen lim_{n→∞} a_n = ∞. Entsprechend sind auch Divergenzen nach −∞ möglich.

Grenzwerte, Intervalle und Integrale

Das Unendlichzeichen wird außerdem für unbeschränkte Bereiche und Grenzprozesse verwendet. Ein nach oben unbeschränktes Intervall reeller Zahlen wird mit [a, ∞) bezeichnet. Nach unten unbeschränkte oder beidseitig unbeschränkte Intervalle können entsprechend −∞ enthalten.

In der Integralrechnung werden uneigentliche Integrale betrachtet, deren Integrationsbereich nach oben unbeschränkt ist. Die Definition lautet:

∫a^∞ f(x) dx = lim{b→∞} ∫_a^b f(x) dx

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, das unter anderem Eigenschaften von Räumen und Grenzprozessen untersucht, kann man die reellen Zahlen um die beiden Elemente +∞ und −∞ erweitern. In dieser erweiterten Zahlenmenge können auch bestimmt divergente Folgen als konvergent behandelt werden.

Außerdem bezeichnet

∥f∥∞ = lim{p→∞} ∥f∥_p

die Supremumsnorm einer beschränkten Funktion. Sie entsteht als Grenzwert der Lᵖ-Normen für p → ∞.

Entstehung und Entwicklung des Zeichens

Der englische Mathematiker John Wallis führte das Zeichen 1655 in seinem Werk De sectionibus conicis in der Bedeutung einer unendlich großen Zahl ein. Er entwickelte dabei das Prinzip der Indivisiblen von Bonaventura Cavalieri weiter. Wallis stellte sich eine ebene geometrische Figur nicht aus einzelnen Linien, sondern aus unendlich vielen gleich hohen Parallelogrammen zusammengesetzt vor. Die Höhe jedes einzelnen Parallelogramms gab er als 1/∞, also als unendlich kleinen Teil der Gesamthöhe, an.

Warum Wallis gerade dieses Zeichen wählte, ist nicht vollständig geklärt. Eine mögliche Erklärung ist die Herkunft aus der aus dem 7. Jahrhundert stammenden Ligatur ↀ des römischen Zahlzeichens CIƆ für 1000. Eine andere Erklärung sieht den Ursprung in einer geschlossenen Variante des griechischen Kleinbuchstabens ω (Omega). Deutungen als Lemniskate, Möbiusband oder seitlich liegende Acht, im Englischen „lazy eight“, sind jüngeren Datums.

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts wurde das Zeichen häufig im Zusammenhang mit dem Unendlichkleinen verwendet. Bei Gottfried Leibniz und Isaac Newton war die Bedeutung und mathematische Zulässigkeit solcher Größen noch ein mathematisches und philosophisches Problem. Leonhard Euler vertrat später einen formalen Standpunkt und lehnte metaphysische Begründungen für unendlich kleine Größen ab. In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts wurde ∞ dadurch zu einem festen Bestandteil der mathematischen Symbolsprache.

Im 19. Jahrhundert wurde die Theorie infinitesimaler Größen durch die mathematisch strengere Differenzial- und Integralrechnung ersetzt. Seitdem dient das Unendlichzeichen hauptsächlich zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen.

Symbolische Bedeutungen außerhalb der Mathematik

Außerhalb der Mathematik kann ∞ verschiedene übertragene Bedeutungen haben. Es steht unter anderem für ein logisches Paradoxon oder einen Teufelskreis, etwa beim Ouroboros, einer Schlange, die sich selbst in den Schwanz beißt. Auf den Tarotkarten Der Magier und Kraft kann es Ganzheit symbolisieren. Auf der Flagge der kanadischen Métis steht es für lange Beständigkeit.

Das Zeichen kann außerdem einen unendlich weit entfernten Punkt bezeichnen, beispielsweise bei der Entfernungseinstellung einer Kamera. In Darstellungen zu Liebe und Freundschaft steht es für Ewigkeit und Beständigkeit. Als Markenzeichen findet es sich unter anderem bei der Lautsprechermarke Infinity, der Automarke Infiniti und der Software Microsoft Visual Studio. Das Zeichen ♾ steht für säurefreies und damit lange haltbares Papier.

Bei Objektiven ist die Einstellung ∞ für große Entfernungen vorgesehen. Die axiale Einstellung verläuft nicht linear zur Objektentfernung. Ab einer von der Konstruktion des Objektivs abhängigen Entfernung werden alle Objekte gleichzeitig als scharf empfunden, sodass keine sehr genaue Einstellung mehr erforderlich ist.

Ein regenbogenfarbenes Unendlichkeitssymbol wird von der Neurodiversitätsbewegung verwendet. Es soll die unendliche Vielfalt des Autismus-Spektrums und der menschlichen Wahrnehmung ausdrücken.

Kodierung in Computersystemen

Das Unendlichzeichen ∞ besitzt in Unicode die Position U+221E. Seine Unicode-Bezeichnung lautet „infinity“, die deutsche Bezeichnung „Unendlichkeit“. In HTML kann es hexadezimal als ∞, dezimal als ∞ oder mit dem benannten Zeichen ∞ geschrieben werden. In LaTeX wird es mit \infty erzeugt.

Zu den verwandten oder abgewandelten Zeichen gehören:

• ∝, Unicode U+221D, „proportional to“ beziehungsweise „proportional zu“; HTML: ∝, ∝ oder ∝; LaTeX: \propto.
• ⧞, Unicode U+22DE, „infinity negated with vertical bar“ beziehungsweise „mit Vertikalstrich negierte Unendlichkeit“; HTML: ⋞ oder ⋞.
• ♾, Unicode U+267E, „permanent paper sign“ beziehungsweise „Zeichen für säurefreies Papier“; HTML: ♾ oder ♾.
• ⧜, Unicode U+29DC, „incomplete infinity“ beziehungsweise „unvollständige Unendlichkeit“; HTML: ⧜ oder ⧜.
• ⧝, Unicode U+29DD, „tie over infinity“ beziehungsweise „Bogen über Unendlichkeit“; HTML: ⧝ oder ⧝.