Trapezteilung

Definition und zentrale Formel

Die Trapezteilung ist eine Methode, ein Trapez durch eine Strecke in zwei flächengleiche Teiltrapeze zu zerlegen. Die Teilungsstrecke verläuft parallel zu den beiden parallelen Seiten des Trapezes.

Haben die parallelen Seiten die Längen a und c und die Teilungsstrecke die Länge b, dann sind die beiden Teiltrapeze genau dann flächengleich, wenn

a² + c² = 2b²

gilt. Nach b aufgelöst ergibt sich

b = √((a² + c²)/2).

Damit ist b das quadratische Mittel der Seitenlängen a und c. Das quadratische Mittel erhält man hier, indem man die Quadrate von a und c addiert, die Summe durch 2 teilt und anschließend die Quadratwurzel zieht.

Babylonische Herleitung

Der Beweis kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit für gleichschenklige Trapeze geführt werden, weil der Flächeninhalt bei einer Scherung unverändert bleibt. Eine Scherung verändert die Form einer Figur, aber nicht deren Flächeninhalt.

Die betrachtete Figur besteht aus einem inneren Quadrat mit der Seitenlänge c und vier kongruenten Trapezpaaren. Jedes große Trapez besitzt parallele Seiten der Längen a und c und wird durch eine parallele Strecke der Länge b in zwei kleinere Trapeze geteilt.

Die äußeren Teiltrapeze bilden einen Trapezring mit dem Flächeninhalt a² − b². Die inneren Teiltrapeze bilden einen zweiten Trapezring mit dem Flächeninhalt b² − c². Damit beide Ringe und somit die beiden Arten von Teiltrapezen flächengleich sind, muss gelten:

a² − b² = b² − c².

Durch Umformen folgt unmittelbar a² + c² = 2b². Damit ist die Bedingung für die Halbierung des Trapezes bewiesen.

Herleitung nach Euklid

Euklids Herleitung nutzt ähnliche Dreiecke. Bei ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Flächeninhalte wie die Quadrate entsprechender Grundseiten: Für Grundseiten der Längen x und y beträgt das Verhältnis der Flächeninhalte x² : y².

Das Trapez ABCD mit den parallelen Seiten AB und CD wird durch die zu ihnen parallele Transversale MN halbiert. Eine Transversale ist hier eine Strecke, die das Trapez durchquert. Anschließend wird das Trapez zum Dreieck ABS ergänzt.

Die Flächeninhalte der entstehenden Teildreiecke DCS, NMS und ABS werden mit Tₐ, Tᵦ und T꜀ bezeichnet; der Flächeninhalt eines halbierten Trapezteils heißt T. Aus der Zerlegung folgen die Beziehungen

Tₐ + T = Tᵦ und T꜀ − T = Tᵦ.

Daraus ergibt sich Tₐ + T꜀ = 2Tᵦ. Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt zugleich

Tₐ : Tᵦ : T꜀ = a² : b² : c².

Deshalb folgt auch aus dieser Herleitung die zentrale Bedingung a² + c² = 2b².

Mathematischer Ursprung und Bedeutung

Die Methode stammt ursprünglich aus der babylonischen Mathematik. Später griff Euklid die Idee auf. In einem nur teilweise in arabischer Bearbeitung erhaltenen Buch behandelt er die Teilung von Figuren; die Halbierung von Trapezen erscheint dort als Proposition 4.

Die babylonische und die euklidische Herleitung verwenden unterschiedliche geometrische Anordnungen, führen aber zu derselben Aussage: Die Länge der parallelen Teilungsstrecke ist nicht das gewöhnliche arithmetische Mittel von a und c, sondern ihr quadratisches Mittel √((a² + c²)/2).