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Trapezregel
... \in [a,b] . Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes: T ( f ) = ( b − a ) ⋅ f ( a ) + 1 2 ( b − a ) ⋅ ( f …
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Beispielintegral
Die Trapezregel ist ein Verfahren der numerischen Integration. Sie nähert ein bestimmtes Integral J(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm d x an, indem die Fläche unter dem Graphen von f(x) im Intervall [a,b] durch ein Trapez oder durch mehrere gleich breite Trapeze ersetzt wird. Dabei schreibt man allgemein J(f)=\text{Näherungswert}+E(f), wobei E(f) das Restglied, also der Fehler der Näherung, ist.
Es gibt zwei wichtige Varianten. Bei der Sehnentrapezformel ersetzt eine Sehne, also die Verbindungsgerade zwischen (a,f(a)) und (b,f(b)), den Funktionsgraphen. Bei der Tangententrapezformel, auch Mittelpunktsregel genannt, ersetzt die Tangente in der Mitte des Intervalls den Graphen; als gleichwertige Deutung entsteht ein Rechteck mit Höhe f((a+b)/2).
Als durchgehendes Beispiel dient das Integral J(f)=\int_0^2 3^{3x-1}\,\mathrm d x=\frac{3^{3x-2}}{\ln(3)}\big|_0^2=\frac{728}{9\ln(3)}=73{,}6282396649\dots.
Sehnentrapezformel
Bei der einfachen Sehnentrapezformel wird das Intervall [a,b] nur einmal betrachtet. Das Trapez besteht aus der Grundlinie auf der x-Achse, den senkrechten Strecken zu f(a) und f(b) sowie der Sehne zwischen diesen Funktionswerten. Der Flächeninhalt dieses Trapezes ist T(f)=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.
Damit gilt J(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm d x=T(f)+E(f). Ist f zweimal stetig differenzierbar auf [a,b], dann gilt die Fehlerabschätzung |E(f)|\leq \frac{(b-a)^3}{12}\max_{a\leq x\leq b}|f''(x)|. Ist f zusätzlich reellwertig, gibt es eine Zwischenstelle \zeta\in[a,b] mit E(f)=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\zeta).
Die zweite Ableitung f'' beschreibt die Krümmung. Da der Fehler von f'' abhängt, ist die Formel für Geraden exakt; ihr Genauigkeitsgrad ist 1. Für streng konkave Funktionen mit f''(x)<0 folgt bei der Sehnentrapezformel E(f)>0, also ist die echte Fläche größer als die Trapezfläche. Im Beispiel ergibt die einfache Sehnentrapezformel T(f)=(2-0)\frac{f(0)+f(2)}{2}=\frac{730}{3}=243{,}\overline{3}. Weil hier f''(x)=3^{3x+1}\ln(3)^2>0, ist die gesuchte Fläche kleiner als diese Trapezfläche.
Zusammengesetzte Sehnentrapezformel und Fehler
Für eine bessere Näherung wird [a,b] in n gleich große Teilintervalle der Länge h=\frac{b-a}{n} zerlegt. Auf jedes Teilintervall wird die Sehnentrapezformel angewendet, danach werden die Näherungen addiert. So erhält man T^{(n)}(f)=h\left(\frac12 f(a)+\frac12 f(b)+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right). Die inneren Stützstellen werden mit voller Breite h, die Randwerte mit halber Breite h/2 gewichtet.
Im Beispiel ist für h=\frac13, also n=6, T^{(6)}(f)=\frac{728}{9}=80{,}\overline{8}. Für h=\frac16, also n=12, erhält man T^{(12)}(f)=\frac{728+364\sqrt3}{18}=75{,}4703608\dots. Ein Vorteil der Sehnentrapezregel ist: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, kann man auf die vorherige Rechnung zurückgreifen. Allgemein gilt T^{(2n)}(f)=\frac{T^{(n)}(f)}{2}+\frac{h}{2}\sum_{i=1}^n f(a-\frac h2+i h). Deshalb baut die Romberg-Integration auf der Sehnentrapezregel als Basis auf.
Für das Restglied gilt |E^{(n)}(f)|\leq \frac{(b-a)}{12}h^2\max_{a\leq x\leq b}|f''(x)|, und für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \zeta\in[a,b]: E^{(n)}(f)=-\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\zeta). Der Faktor h^2 bedeutet: Wird die Schrittweite halbiert, wird der Fehler ungefähr um den Faktor 4 kleiner. Im Beispiel ist |E^{(6)}(f)|\leq48{,}88\dots, der exakte Fehler aber -7{,}26\dots. Für n=12 ist |E^{(12)}(f)|\leq12{,}22\dots, der exakte Fehler -1{,}842\dots, also ungefähr ein Viertel.
Rechnet man mit zwei verschiedenen Intervallzahlen n\neq m, kann man den Fehler schätzen durch E^{(n)}(f)\approx \frac{m^2}{m^2-n^2}(T^{(m)}(f)-T^{(n)}(f)). Bei Verdoppelung, also m=2n, wird daraus E^{(n)}(f)\approx \frac43(T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)).
Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel
Bei der Tangententrapezformel wird der Graph im Intervall [a,b] durch die Tangente in der Mitte des Intervalls ersetzt. Die zugehörige Formel ist M(f)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right), und es gilt J(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm d x=M(f)+E(f). Dreht man die Tangente im Mittelpunkt gedanklich zu einer horizontalen Geraden, entsteht ein Rechteck mit gleicher Fläche; deshalb heißt dieselbe Quadraturformel auch Mittelpunktsregel.
Ist f zweimal stetig differenzierbar auf [a,b], gilt |E(f)|\leq \frac{(b-a)^3}{24}\max_{a\leq x\leq b}|f''(x)|. Für reellwertige Funktionen gibt es eine Zwischenstelle \zeta\in[a,b] mit E(f)=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\zeta). Auch diese Formel ist für Geraden exakt und hat Genauigkeitsgrad 1. Für streng konkave Funktionen mit f''(x)<0 folgt hier E(f)<0, also ist die echte Fläche kleiner als die Trapezfläche. Im Beispiel ergibt die einfache Mittelpunktsregel M(f)=(2-0)f(1)=18; wegen f''(x)>0 ist die gesuchte Fläche größer als dieser Näherungswert.
Bei der zusammengesetzten Tangententrapezformel wird das Intervall wieder in n gleich große Teilintervalle der Länge h=\frac{b-a}{n} zerlegt. Man verwendet jeweils den Mittelpunkt des Teilintervalls: M^{(n)}(f)=h\sum_{i=1}^n f(a-\frac h2+i h). Im Beispiel ist M^{(6)}(f)=\frac{364\sqrt3}{9}=70{,}05183266\dots und M^{(12)}(f)=\frac{3^6-1}{2\cdot3^{7/4}(\sqrt3-1)}=72{,}71063941368\dots. Anders als bei der Sehnentrapezregel kann man bei Verdoppelung der Intervallzahl nicht direkt auf die vorige Rechnung zurückgreifen.
Für das zusammengesetzte Restglied gilt |E^{(n)}(f)|\leq \frac{(b-a)}{24}h^2\max_{a\leq x\leq b}|f''(x)|, beziehungsweise E^{(n)}(f)=\frac{(b-a)}{24}h^2 f''(\zeta). Auch hier verkleinert Halbierung von h den Fehler ungefähr um den Faktor 4. Die Fehlerschätzung mit zwei Intervallzahlen lautet E^{(n)}(f)\approx \frac{m^2}{m^2-n^2}(M^{(m)}(f)-M^{(n)}(f)), bei Verdoppelung also E^{(n)}(f)\approx \frac{2^2}{2^2-1}(M^{(2n)}(f)-M^{(n)}(f)).
Vergleich, Fehlerentwicklung und andere Formeln
Für konkave Funktionen liefert die Tangententrapezformel eine bessere Näherung als die Sehnentrapezformel. Anschaulich ist bei der Tangententrapezformel die nicht ausgeschöpfte Fläche kleiner als bei der Sehnentrapezformel.
Die asymptotische Fehlerentwicklung beschreibt genauer, wie der Fehler der Trapezsumme von der Schrittweite h abhängt. Für h=\frac{b-a}{n}, T_n(h)=\frac h2\left(f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right) und einen Integranden f\in C^{2m+1}([a,b]) gilt T_n(h)=\int_a^b f(x)\,\mathrm d x+\sum_{k=1}^m \tau_{2k}h^{2k}+R_{2m+2}(h)h^{2m+2}. Dabei ist \tau_{2k}=\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)), und B_{2k} sind Bernoulli-Zahlen. Der Restterm ist gleichmäßig abschätzbar: Es gibt C_{2m+2}\geq0, sodass für alle passenden h gilt |R_{2m+2}(h)|\leq C_{2m+2}.
Zwischen Sehnentrapezregel und Mittelpunktsregel besteht der Zusammenhang T^{(2n)}(f)=\frac{T^{(n)}(f)+M^{(n)}(f)}{2}. Daraus folgt für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel E^{(n)}(f)\approx \frac23(M^{(n)}(f)-T^{(n)}(f)). Addiert man diese Schätzung zu T^{(n)}(f), erhält man \frac13(T^{(n)}(f)+2M^{(n)}(f)). Das ist die Formel S^{(n)}(f) der Simpsonregel. Sie hat Genauigkeitsgrad 3 und integriert Polynome bis zum Grad 3 exakt; im Allgemeinen liefert sie bessere Resultate als T^{(n)}(f) oder M^{(n)}(f).
Eine äquivalente Form ist \frac{4T^{(2n)}(f)-T^{(n)}(f)}{3}. Das ist die Formel für die zweite Spalte des Rechenschemas der Romberg-Integration bei Verwendung der Romberg-Folge; diese zweite Spalte ist damit die Simpsonregel mit Genauigkeitsgrad 3. Im Beispiel ergibt S^{(6)}(f)=\frac13(T^{(6)}(f)+2M^{(6)}(f))=\frac{4T^{(12)}(f)-T^{(6)}(f)}{3}=\frac{728(\sqrt3+1)}{27}=73{,}66418473741264\dots. Das liegt näher am exakten Integral 73{,}6282396649\dots als T^{(6)}(f)=80{,}\overline{8}, T^{(12)}(f)=75{,}4703608\dots oder M^{(6)}(f)=70{,}05183266\dots, bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie T^{(12)}(f), nämlich 13 Stück.
