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Numerische Integration
In der numerischen Mathematik bezeichnet man als numerische Integration (traditionell auch als numerische Quadratur bezeichnet) die näherungsweise Berechnung …
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Grundidee der numerischen Integration
Numerische Integration, traditionell auch numerische Quadratur, ist die näherungsweise Berechnung eines Integrals. Sie sucht etwa für die Fläche S = ∫ₓᵤˣₒ f(x) dx eine möglichst einfache Näherung. Sie wird verwendet, wenn eine Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist, ihre numerische Auswertung zu aufwendig ist oder der Integrand nur diskret, beispielsweise aus Messungen, vorliegt.
Für eine Funktion f auf [a,b] wird das Integral in den Wert Q(f) einer Näherungs- oder Quadraturformel und den Fehler E(f) zerlegt: ∫ₐᵇ f(x) dx = Q(f) + E(f). Die Grundidee knüpft direkt an die Definition des Riemannschen Integrals an: Eine Fläche wird durch einfach berechenbare Teilflächen angenähert.
Grafische Verfahren
Bei grafischen Verfahren zeichnet man den Graphen des Integranden in ein Koordinatensystem mit linearen Achsen und bestimmt die Fläche zwischen Graph und Abszisse.
Beim Zählverfahren wird der Graph auf Millimeterpapier gezeichnet. Man zählt die von der Fläche S erfassten Quadratmillimeterkästchen; Kästchen, durch die der Graph verläuft, werden nur halb gezählt. Mit der Kästchenzahl N sowie den Skalenteilen Δx und Δy gilt näherungsweise:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ N mm² · (Δx/mm) · (Δy/mm).
Eine Fläche kann außerdem mit einem Planimeter gemessen werden. Alternativ kann die Kurve auf Material mit bekannter gleichmäßiger Dichte und Stärke gezeichnet, die Fläche ausgeschnitten und gewogen werden. Ist das spezifische Gewicht bei gegebener Stärke bekannt, lässt sich daraus das Integral bestimmen.
Quadraturformeln und Interpolation
Eine Quadraturformel verwendet Funktionswerte an Stützstellen x₀,…,xₙ und dazugehörige Gewichte w₀,…,wₙ. Allgemein lautet sie:
Q(f) = (x₀ − xₙ) ∑ᵢ₌₀ⁿ wᵢ f(xᵢ).
Die Gewichte hängen von den Abständen zu benachbarten Stützstellen ab. Stützstellen und Gewichte werden so gewählt, dass der Quadraturfehler E(f) möglichst klein ist. Der Genauigkeits- oder Exaktheitsgrad n bedeutet, dass alle Polynome bis zum Höchstgrad n exakt integriert werden und n die größtmögliche natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Wie das Integral sind Quadraturformeln lineare Operatoren.
Bei interpolatorischen Quadraturformeln ersetzt man f(x) durch ein Interpolationspolynom pₙ(x) vom Grad n und integriert dieses. Dann gilt:
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ ∫ₐᵇ pₙ(x) dx = (b−a) ∑ᵢ₌₀ⁿ wᵢ f(xᵢ),
wᵢ = 1/(b−a) ∫ₐᵇ Lᵢ,ₙ(x) dx,
Lᵢ,ₙ(x) = ∏ⱼ₌₀,ⱼ≠ᵢⁿ (x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ).
Die Lᵢ,ₙ heißen Lagrange-Polynome. Solche Formeln haben mindestens den Genauigkeitsgrad n. Liegen die Integrationsgrenzen unter den Stützstellen, heißt die Formel abgeschlossen, sonst offen. Bei äquidistanten Stützstellen entstehen Newton-Cotes-Formeln: Zu den abgeschlossenen gehören Sehnentrapezregel und Simpsonregel, zur offenen die Tangententrapezregel. Für gerades n haben Newton-Cotes-Formeln sogar den Genauigkeitsgrad n+1. Gauß-Quadraturformeln sind ebenfalls offene Quadraturformeln.
Fehler und Fehlerabschätzung
Sei [c,d] das kleinste Intervall, das sowohl alle Stützstellen xᵢ als auch [a,b] enthält, und sei f auf [c,d] (n+1)-mal stetig differenzierbar. Dann gibt es für jedes x ein ξ(x) ∈ [c,d] mit
f(x) − pₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ(x))/(n+1)! · ∏ᵢ₌₀ⁿ (x−xᵢ).
Daraus folgt für den Quadraturfehler:
E(f) = 1/(n+1)! ∫ₐᵇ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ(x)) ∏ᵢ₌₀ⁿ (x−xᵢ) dx.
Insbesondere ist der Fehler 0, falls f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) für alle x ∈ [c,d] gleich 0 ist. Das trifft auf Polynome bis Grad n zu und erklärt den mindestens erreichten Genauigkeitsgrad.
Eine Abschätzung lautet:
|E(f)| ≤ 1/(n+1)! · max_c≤x≤d |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| · ∫ₐᵇ |∏ᵢ₌₀ⁿ (x−xᵢ)| dx.
Wechselt das Produkt ∏ᵢ₌₀ⁿ (x−xᵢ) in [a,b] nicht das Vorzeichen, also liegt keine Stützstelle in (a,b), gibt es ein ζ ∈ [c,d] mit E(f) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ζ)/(n+1)! · ∫ₐᵇ ∏ᵢ₌₀ⁿ (x−xᵢ) dx. Ist f nur stetig, gelten diese Aussagen nicht; der Fehler kann sehr groß sein.
Höhere Genauigkeit und Teilintervalle
Die Gauß-Quadratur nutzt die Theorie orthogonaler Polynome. Mit n Funktionsauswertungen erreicht sie den Genauigkeitsgrad 2n−1. Das Rombergsche Extrapolationsverfahren soll die Zahl der Funktionsauswertungen klein halten und zugleich eine Fehlerkontrolle ermöglichen: Es extrapoliert Integralwerte von immer kleineren Streifen auf eine verschwindende Streifenbreite.
Bei summierten Quadraturformeln wird [a,b] in mehrere, nicht unbedingt gleich lange Teilintervalle zerlegt. Auf jedem Teilintervall wird eine Quadraturformel angewendet; anschließend werden die Ergebnisse addiert. Adaptive Formeln teilen ein Teilintervall weiter, wenn der geschätzte Fehler dort über einer vorgegebenen Schranke liegt.
Monte-Carlo-Integration
Die Monte-Carlo-Integration approximiert nicht zuerst die Funktion. Stattdessen erzeugt man n zufällige, gleichverteilte Punkte x₁,…,xₙ im Integrationsintervall [a,b] und mittelt die Funktionswerte:
Sₙ(f) = (b−a)/n ∑ᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ).
Vorteile sind die vergleichsweise einfache Umsetzung und die Erweiterbarkeit auf Vielfachintegrale. Klassische Integrationsalgorithmen leiden bei hochdimensionalen Problemen unter dem Fluch der Dimensionalität und sind dann nicht mehr anwendbar. Hochdimensionale Integranden sind jedoch meist stark lokalisiert. MCMC-Verfahren können dafür Stichproben mit einer Verteilung erzeugen, die eine effiziente Berechnung solcher Integrale erlaubt.
