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Matrizenaddition
Die Matrizenaddition oder Matrixaddition ist in der Mathematik eine additive Verknüpfung zweier Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition …
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Grundidee und Definition
Die Matrizenaddition (auch Matrixaddition) ist eine additive Verknüpfung von zwei Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis heißt Matrizensumme, Matrixsumme oder Summenmatrix. Dabei werden jeweils die Einträge an derselben Stelle addiert.
Für einen Ring (R,+) und zwei Matrizen A=(a_{ij})\in R^{m\times n} und B=(b_{ij})\in R^{m\times n} gilt:
A+B=(a_{ij}+b_{ij}).
Die Summe ist nur definiert, wenn beide Matrizen dieselbe Zeilen- und Spaltenzahl besitzen. Die Ergebnismatrix hat ebenfalls die Größe m\times n.
Rechenbeispiel
Für die reellen (2\times2)-Matrizen
A=\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix} und B=\begin{pmatrix}1&3\\2&0\end{pmatrix}
ergibt sich durch Addition entsprechender Einträge:
A+B=\begin{pmatrix}3+1&2+3\\0+2&1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&5\\2&1\end{pmatrix}.
Wichtige Rechengesetze
Die Matrizenaddition übernimmt die entsprechenden Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Für A,B,C\in R^{m\times n} ist sie assoziativ, also A+(B+C)=(A+B)+C, und kommutativ, also A+B=B+A.
Sie ist mit der Multiplikation eines Skalars a\in R verträglich:
a\,(A+B)=a\,A+a\,B.
Zusammen mit der Matrizenmultiplikation gelten die Distributivgesetze (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C und A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C.
Für die transponierte Matrix gilt (A+B)^T=A^T+B^T. Daher ist die Summe zweier symmetrischer Matrizen wieder symmetrisch.
Matrizen als additive Gruppe
Die Menge aller Matrizen einer festen Größe bildet mit der Matrizenaddition die additive Gruppe (R^{m\times n},+). Ihr neutrales Element ist die Nullmatrix 0\in R^{m\times n}, deren sämtliche Einträge das Nullelement von R sind. Für jede Matrix A gilt daher A+0=0+A=A.
Das additive Inverse von A=(a_{ij}) ist -A=(-a_{ij}). Damit lässt sich die Differenz von Matrizen als Addition mit dem Inversen schreiben:
A-B=A+(-B)=(a_{ij}-b_{ij}).
Ringe und Vektorräume aus Matrizen
Quadratische Matrizen fester Größe bilden mit Addition und Matrizenmultiplikation den nichtkommutativen Ring (R^{n\times n},+,\cdot). Ist R unitär, besitzt dieser Matrizenring ein Einselement: die Einheitsmatrix I\in R^{n\times n}.
Matrizen beliebiger fester Größe bilden mit Addition und Hadamard-Produkt den Ring (R^{m\times n},+,\circ). Ist R unitär, ist dessen Einselement die Einsmatrix J\in R^{m\times n}, bei der jeder Eintrag gleich dem Einselement des Ausgangsrings ist.
Über einem Körper bildet die Menge der m\times n-Matrizen mit Addition und Skalarmultiplikation den Vektorraum (R^{m\times n},+,\cdot). Seine Standardbasis besteht aus den Standardmatrizen E_{ij}: An der Stelle (i,j) steht eine Eins, alle anderen Einträge sind null. Die Dimension dieses Matrizenraums ist m\cdot n.
Für A\in\mathbb{K}^{m\times n} über dem reellen oder komplexen Körper und eine Matrixnorm \|\cdot\| gilt die Dreiecksungleichung \|A+B\|\leq\|A\|+\|B\|. Die Norm einer Matrizensumme ist also höchstens die Summe der Normen ihrer Summanden.