Funktionaldeterminante

Begriff und Bedeutung

Die Funktionaldeterminante, auch Jacobi-Determinante genannt, beschreibt, wie eine differenzierbare Abbildung Flächen oder Volumina in der unmittelbaren Umgebung eines Punktes vergrößert, verkleinert oder spiegelt. Sie ist besonders wichtig in der mehrdimensionalen Integralrechnung, etwa bei Oberflächen- und Volumenintegralen. Sie tritt in der Flächenformel und im daraus hervorgehenden Transformationssatz auf.

Bei einem Koordinatenwechsel muss ein Flächen- oder Volumenelement an die örtliche Verzerrung der Abbildung angepasst werden. Der dafür benötigte Faktor ist der Betrag der Funktionaldeterminante. Dadurch kann man Integrale in ein Koordinatensystem umformen, das besser zur Geometrie eines Problems passt.

Definition

Für eine differenzierbare Funktion f: ℝⁿ → ℝⁿ ist die Funktionaldeterminante die Determinante ihrer Jacobi-Matrix:

det Df(x),

wobei

Df(x) = (∂fᵢ/∂xⱼ(x))ᵢ,ⱼ₌₁,…,ₙ.

Die Jacobi-Matrix enthält also sämtliche ersten partiellen Ableitungen der Komponenten von f. Diese Definition genügt insbesondere für die Transformation von Volumenelementen, wie sie häufig in der Physik benötigt wird.

Bildet eine Funktion Räume unterschiedlicher Dimension aufeinander ab, also f: ℝⁿ → ℝᵐ, ist Df(x) ∈ ℝᵐˣⁿ im Allgemeinen nicht quadratisch. Ihre gewöhnliche Determinante ist dann nicht definiert. Die verallgemeinerte Funktionaldeterminante lautet deshalb

𝒥f(x) := √det((Df(x))ᵀ · Df(x)).

Dabei ist (Df(x))ᵀ die transponierte Jacobi-Matrix. Der Ausdruck det((Df(x))ᵀ · Df(x)) heißt gramsche Determinante von Df.

Bei Abbildungen zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension wird das Wort „verallgemeinert“ häufig weggelassen. Bei Selbstabbildungen kann das missverständlich sein, weil die gewöhnliche und die verallgemeinerte Definition bei negativer Determinante verschiedene Werte liefern:

𝒥f(x) = √((det Df)²) = |det Df| ≠ det Df, falls det Df < 0.

In der Flächenformel und im Transformationssatz wird ohnehin stets der Betrag verwendet.

Lokale geometrische Bedeutung

Eine nichtlineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² kann ein Rechteck in eine verzerrte Fläche überführen. In der Nähe eines Punktes x₀ wird sie durch ihre Jacobi-Matrix möglichst gut linear angenähert:

f(x) ≈ f(x₀) + Df(x₀)(x − x₀).

Unter dieser linearen Näherung wird das Rechteck zu einem Parallelogramm. Die Funktionaldeterminante gibt das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt dieses angenäherten Parallelogramms und dem Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks an.

Für eine stetig differenzierbare Funktion gilt: Ist die Funktionaldeterminante an einem Punkt p ungleich null, so ist die Funktion in einer Umgebung von p invertierbar. Lokal lässt sich die Abbildung dort also umkehren.

Das Vorzeichen beschreibt die Orientierung: Bei einer positiven Determinante bleibt sie erhalten, bei einer negativen Determinante wird sie umgekehrt. Der absolute Wert gibt an, um welchen Faktor die Abbildung in der Nähe von p Flächen oder Volumina ausdehnt beziehungsweise verkleinert.

In drei Dimensionen kann der Betrag als Spatprodukt der lokalen Basisvektoren verstanden werden. Diese Basisvektoren sind Tangenten an die Koordinatenlinien und entstehen durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation nach den neuen Koordinaten. Ihre Komponenten bilden jeweils eine Spalte der Jacobi-Matrix. Das Spatprodukt liefert den lokalen Volumenfaktor. Für Kugelkoordinaten gilt beispielsweise

|det Df| = (bᵣ, bθ, bφ) = r² sin(θ).

Transformationssatz und ebene Polarkoordinaten

Koordinatentransformationen erleichtern Integrale über geometrische Objekte. Ein radialsymmetrisches Potentialfeld U, dessen Wert nur vom Radius r abhängt, lässt sich beispielsweise zweckmäßig in Kugelkoordinaten behandeln. Für eine Koordinatentransformation Φ gilt nach dem Transformationssatz:

∫Ω U(r⃗) dV = ∫Φ⁻¹(Ω) U(Φ(r, θ, φ)) · |det DΦ(r, θ, φ)| dr dθ dφ.

Der Betrag der Funktionaldeterminante korrigiert dabei das Volumenelement für die durch Φ verursachte örtliche Verzerrung.

Bei Polarkoordinaten gelten die Umrechnungen

x = r cos φ, y = r sin φ.

Daraus folgt

det(∂(x,y)/∂(r,φ)) = det((cos φ, −r sin φ), (sin φ, r cos φ)) = r(cos φ)² + r(sin φ)² = r.

Das kartesische Flächenelement wird daher zu

dA = |det(∂(x,y)/∂(r,φ))| dr dφ = r dr dφ.

Kugelkoordinaten

Für Kugelkoordinaten (r, θ, φ) werden die kartesischen Koordinaten üblicherweise durch

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ

angegeben. Die zugehörige Funktionaldeterminante ist

det(∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)) = r² sin θ.

Damit lautet das Volumenelement

dV = |det(∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ))| dr dθ dφ = r² sin θ dr dθ dφ.

Es gibt auch eine andere Konvention:

x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ.

Hier ergibt sich

det(∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)) = −r² cos θ.

Wegen des Betrags in der Transformationsformel lautet das Volumenelement entsprechend

dV = r² cos θ dr dθ dφ.

Zylinderkoordinaten

Für Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) gelten

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z.

Die Funktionaldeterminante ist

det(∂(x,y,z)/∂(ρ,φ,z)) = det((cos φ, −ρ sin φ, 0), (sin φ, ρ cos φ, 0), (0, 0, 1)) = ρ.

Daraus folgt für das Volumenelement

dV = |det(∂(x,y,z)/∂(ρ,φ,z))| dρ dφ dz = ρ dρ dφ dz.

Bei einer anderen Reihenfolge der Variablen kann sich das Vorzeichen ändern. Für die Reihenfolge (ρ, z, φ) gilt beispielsweise

det(∂(x,y,z)/∂(ρ,z,φ)) = −ρ.

Da im Transformationsgesetz nur der Betrag der Determinante verwendet wird, bleibt das resultierende Volumenelement unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Ableitungsvariablen.