Temperaturkoeffizient

Kernidee

Ein Temperaturkoeffizient, auch Temperaturbeiwert genannt, beschreibt die relative Änderung einer bestimmten physikalischen Größe, wenn sich die Temperatur gegenüber einer festgelegten Referenztemperatur ändert. Diese Größe ist oft eine Materialeigenschaft, aber nicht immer.

Temperaturkoeffizienten werden zum Beispiel für Länge, Volumen, Druck, elektrischen Widerstand oder die Spannung an einer Halbleiterdiode betrachtet. Ein annähernd linearer Zusammenhang zwischen der Größe und der Temperatur, also ein ungefähr konstanter Temperaturkoeffizient, gilt im Allgemeinen nur in einem begrenzten Temperaturbereich.

Mathematische Beschreibung

Wenn eine Größe ξ eindeutig von der Temperatur T abhängt, keine Hysterese zeigt und keine Sprungstellen hat, kann ihre Temperaturabhängigkeit von einer Referenztemperatur T₀ aus beschrieben werden. Im einfachsten Fall verwendet man eine lineare Näherung mit einem Temperaturkoeffizienten:

ξ(T) = ξ(T₀) · [1 + α_T₀ · (T − T₀)]

Als Bezugstemperatur wird oft 20 °C gewählt:

ξ(T) = ξ(20 °C) · [1 + α₂₀ · (T − 20 °C)]

Dabei ist ΔT = T − T₀ die Temperaturdifferenz zur Referenztemperatur. α_T₀ ist der Temperaturkoeffizient 1. Ordnung bei der Referenztemperatur T₀.

Höhere Näherungen

Allgemein kann eine Temperaturkennlinie durch eine Taylorreihe beschrieben werden. Dabei werden neben dem linearen Anteil auch höhere Potenzen der Temperaturdifferenz berücksichtigt:

ξ(T₀ + ΔT) = ξ(T₀) · (1 + α_T₀ · ΔT + β_T₀ · ΔT² + γ_T₀ · ΔT³ + … + k_n,T₀ · ΔTⁿ + …)

Für praktische Rechnungen kann man diese Reihe nach einem bestimmten Grad n abbrechen und erhält ein Taylorpolynom. Für n = 1 ergibt sich die meist verwendete lineare Approximation:

ξ(T₀ + ΔT) = ξ(T₀) · (1 + α_T₀ · ΔT)

β_T₀ ist der Temperaturkoeffizient 2. Ordnung, γ_T₀ der Temperaturkoeffizient 3. Ordnung und k_n,T₀ der Temperaturkoeffizient n-ter Ordnung, jeweils bei der Referenztemperatur T₀. Die Koeffizienten können durch Ableitungen der bekannten Funktion ξ(τ) berechnet werden, zum Beispiel α_T₀ = [1 / ξ(T₀)] · (dξ/dτ) bei τ = T₀. Wichtig ist: Temperaturkoeffizienten hängen von der Bezugstemperatur T₀ ab.

Ideales Gas

Beim idealen Gas sind die Temperaturkoeffizienten für Druckänderung und Volumenänderung gleich:

1 / 273,15 K⁻¹

Unter den idealisierenden Annahmen verlaufen Druck- und Volumenänderung linear. Dieses Beispiel zeigt einen Fall, in dem ein einfacher Temperaturkoeffizient die Temperaturabhängigkeit direkt beschreibt.

Elektrischer Widerstand

Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands ist bei Bauelementen wie Leitungen und Widerständen technisch wichtig. Sie muss beim Konstruieren von Baugruppen und beim Auslegen von Schaltungen berücksichtigt werden. Zugleich wird sie gezielt genutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern.

Der Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands ist streng genommen nicht konstant. Deshalb gibt es Polynome, mit denen man den Widerstand aus der Temperatur berechnen kann, zum Beispiel genormt für Platin-Widerstandsthermometer. In der Regelungstechnik sind jedoch oft lineare Funktionen erwünscht. Der lineare Temperaturkoeffizient α gibt die relative Änderung des Widerstandswertes pro Temperaturänderung zu einer Bezugstemperatur an. Diese Bezugstemperatur ist hier statt 20 °C oft 0 °C oder 25 °C.

Für Kupfer und Aluminium kann im Temperaturbereich von 0 °C bis 50 °C für Abschätzungen mit 0,4 % pro Kelvin gerechnet werden. Handelsübliche Kleinleistungswiderstände haben übliche Temperaturkoeffizienten von 100 ppm pro Kelvin bis 200 ppm pro Kelvin. Präzisionswiderstände sind im Bereich von 50 ppm pro Kelvin bis hinunter zu 1 ppm pro Kelvin verfügbar. Der lineare Temperaturkoeffizient wird mit dem Präfix TK angegeben, im Englischen mit TC; TK100 bedeutet zum Beispiel 100 ppm pro Kelvin.

Weitere technische Beispiele

Neben elektrischem Widerstand sowie Druck- und Volumenänderung beim idealen Gas gibt es viele weitere Temperaturkoeffizienten. Häufig ist bei einem bestimmten Objekt eine bestimmte temperaturabhängige Größe technisch besonders wichtig. Dann spricht man einfach von „dem“ Temperaturkoeffizienten dieses Objekts.

Beispiele sind der Temperaturkoeffizient eines Schwingquarzes, der die Temperaturabhängigkeit der Eigenfrequenz beschreibt, der Temperaturkoeffizient eines Kernreaktors, der die Temperaturabhängigkeit der Reaktivität beschreibt, und der Temperaturkoeffizient einer optischen Linse, der die Temperaturabhängigkeit des Brechungsindex beschreibt, etwa bei Laseranwendungen mit hohen Leistungen oder hoher Präzision.