Symmetrische Gleichung

Begriff und Definition

Eine symmetrische Gleichung ist eine polynomiale, also ganzrationale, Gleichung, deren Koeffizientenfolge von außen nach innen gleich ist. Für eine Gleichung n-ten Grades

aₙ·xⁿ + aₙ₋₁·xⁿ⁻¹ + … + a₁·x + a₀ = 0

gilt im symmetrischen oder palindromischen Fall aₖ = aₙ₋ₖ für alle k = 0, 1, …, n. Ein solches Polynom heißt auch reziprokes oder selbstreziprokes Polynom. Im antisymmetrischen oder antipalindromischen Fall gilt dagegen aₖ = −aₙ₋ₖ.

Für ein symmetrisches Polynom p gilt p(x) = xⁿ·p(1/x). Für ein antisymmetrisches Polynom gilt p(x) = −xⁿ·p(1/x). Die Bezeichnung reziprok weist darauf hin, dass die Ersetzung x durch 1/x nach Multiplikation mit xⁿ wieder auf die ursprüngliche Gleichung führt.

Wichtige Eigenschaften

Aus der Ersetzung x durch 1/x folgt: Ist x₀ eine Nullstelle einer symmetrischen oder antisymmetrischen Gleichung, dann ist auch 1/x₀ eine Nullstelle. Beide Nullstellen besitzen dieselbe Vielfachheit. Da der konstante Koeffizient a₀ bei palindromischen und antipalindromischen Polynomen nicht 0 ist, kann x = 0 niemals Nullstelle sein.

Weitere Folgerungen sind:

• Bei einem antisymmetrischen Polynom geraden Grades ist der mittlere Koeffizient aₙ/₂ = 0.
• Bei einem symmetrischen Polynom ungeraden Grades gilt p(−1) = 0; bei einem antisymmetrischen Polynom gilt p(1) = 0.
• Das Produkt zweier symmetrischer Polynome ist symmetrisch. Auch das Produkt zweier antisymmetrischer Polynome ist symmetrisch. Das Produkt eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Polynoms ist antisymmetrisch.
• Wenn p(x) und p(x)·q(x) symmetrisch oder antisymmetrisch sind, besitzt auch q(x) eine dieser beiden Eigenschaften.
• Wenn zu jeder Nullstelle x₀ auch 1/x₀ mit derselben Vielfachheit gehört, ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch.

Für ein Polynom r(x) vom Grad m ist xᵐ·r(x + 1/x) ein palindromisches und xᵐ·r(x − 1/x) ein antipalindromisches Polynom vom Grad 2·m. Umgekehrt lässt sich jedes palindromische beziehungsweise antipalindromische Polynom geraden Grades n = 2·m eindeutig in dieser Form darstellen. Sind alle Koeffizienten reell und liegen alle komplexen Nullstellen auf dem Einheitskreis, also haben Betrag 1, dann ist das Polynom palindromisch oder antipalindromisch.

Lösungsstrategien

Für allgemeine Gleichungen ab dem 5. Grad gibt es keine allgemeine Lösungsformel zur Bestimmung der Nullstellen. Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen können wegen ihrer besonderen Struktur jedoch bis zum 9. Grad auf Gleichungen höchstens 4. Grades zurückgeführt werden.

Nach dem verallgemeinerten Wurzelsatz von Vieta gilt für die Nullstellen x₁, …, xₙ eines Polynoms: a₀ = (−1)ⁿ·aₙ·x₁·x₂·…·xₙ. Bei einer symmetrischen Gleichung sind a₀ und aₙ beide von 0 verschieden. Deshalb kann 0 keine Nullstelle sein.

Bei symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades wird die Gleichung meist auf Normalform gebracht, sodass aₙ = 1 und wegen der Symmetrie auch a₀ = 1 gilt. Die Nullstellen treten paarweise als Reziprokwerte auf. Bei reellen Koeffizienten bleibt die Nullstelle −a₀/aₙ = −1 übrig. Man dividiert den Linearfaktor (x + 1) ab; dadurch entsteht eine symmetrische Gleichung geraden Grades.

Bei symmetrischen Gleichungen geraden Grades wird folgendermaßen vorgegangen:

• Alle Glieder werden durch xⁿ⁄² dividiert.
• Gleichartige Terme mit den gleichen Koeffizienten aᵢ = aₙ₋ᵢ werden zusammengefasst.
• Man verwendet die Substitutionen für xⁱ + 1/xⁱ.
• Dadurch entsteht ein Polynom in u vom Grad n/2.
• Nach der Berechnung der u-Nullstellen wird für jedes u die quadratische Gleichung x² − u·x + 1 = 0 gelöst.

Bei antisymmetrischen Gleichungen ungeraden Grades ist −a₀/aₙ = +1 eine Nullstelle. Der Faktor (x − 1) wird abdividiert, und es bleibt eine Gleichung geraden Grades zurück. Bei geradem Grad muss wegen des mittleren Koeffizienten zunächst aₙ⁄₂ = 0 gelten.

Substitution und Resubstitution

Die wichtigste Substitution für symmetrische Gleichungen lautet x + 1/x = u. Daraus folgen:

x² + 1/x² = u² − 2

x³ + 1/x³ = u³ − 3·u

x⁴ + 1/x⁴ = u⁴ − 4·u² + 2

Höhere Potenzen erhält man mit der Rekursion

xⁿ + 1/xⁿ = (x + 1/x)·(xⁿ⁻¹ + 1/xⁿ⁻¹) − (xⁿ⁻² + 1/xⁿ⁻²).

Hat man eine Nullstelle uᵢ des Hilfspolynoms gefunden, setzt man sie in x + 1/x = uᵢ ein. Nach Multiplikation mit x entsteht

x² − uᵢ·x + 1 = 0.

Die beiden Lösungen sind

x₁/₂ = 1/2·(uᵢ ± √(uᵢ² − 4)),

wobei x₁ = 1/x₂ gilt.

Für andere reziproke Gleichungen, bei denen zu jeder Nullstelle xᵢ auch −1/xᵢ gehört, verwendet man x − 1/x = u. Dann gelten beispielsweise x² + 1/x² = u² + 2, x³ − 1/x³ = u³ + 3·u und x⁴ + 1/x⁴ = u⁴ + 4·u² + 2. Damit lassen sich Gleichungen der Formen x⁴ ± a·x³ + b·x² ∓ a·x + 1 = 0, x⁶ ± a·x⁵ + b·x⁴ + c·x³ + b·x² ∓ a·x + 1 = 0 und x⁸ ± a·x⁷ + b·x⁶ ± c·x⁵ + d·x⁴ ∓ c·x³ + b·x² ∓ a·x + 1 = 0 behandeln. Diese Gleichungen sind nicht antisymmetrisch im definierten Sinn; die Substitution funktioniert nur, wenn ungleiche Vorzeichen ausschließlich bei Koeffizienten ungerader Potenzen auftreten.

Spezielle Grade

Für eine symmetrische Gleichung 4. Grades

a·x⁴ + b·x³ + c·x² + b·x + a = 0

führt die Division durch x² und die Substitution u = x + 1/x auf

a·u² + b·u + c − 2·a = 0.

Aus den beiden u-Nullstellen werden durch x² − u·x + 1 = 0 die vier x-Nullstellen berechnet.

Für eine symmetrische Gleichung 6. Grades in Normalform

x⁶ + a·x⁵ + b·x⁴ + c·x³ + b·x² + a·x + 1 = 0

entsteht das kubische Hilfspolynom

u³ + a·u² + (b − 3)·u − 2·a + c = 0.

Für eine symmetrische Gleichung 8. Grades in Normalform

x⁸ + a·x⁷ + b·x⁶ + c·x⁵ + d·x⁴ + c·x³ + b·x² + a·x + 1 = 0

ergibt sich die quartische Gleichung

u⁴ + a·u³ + (b − 4)·u² + (c − 3·a)·u − 2·b + d + 2 = 0.

Ein antisymmetrisches Polynom 8. Grades hat die Struktur

a·x⁸ + b·x⁷ + c·x⁶ + d·x⁵ + 0·x⁴ − d·x³ − c·x² − b·x − a = 0.

Nach geeigneter Umformung wird x − 1/x ausgeklammert. Dadurch sind −1 und +1 bereits zwei Nullstellen. Der verbleibende Faktor wird mit u = x + 1/x in eine kubische Gleichung überführt:

a·(u³ − 3·u) + b·(u² − 2) + (a + c)·u + b + d = 0.

Beispiele und Anwendungen

Beispiel einer symmetrischen Gleichung 4. Grades:

6x⁴ − 5x³ − 38x² − 5x + 6 = 0

führt zu 6u² − 5u − 50 = 0. Die Hilfsnullstellen sind u₁ = 10/3 und u₂ = −5/2. Die Resubstitution liefert für u₁ die Nullstellen 3 und 1/3, für u₂ die Nullstellen −2 und −1/2.

Symmetrische kubische Gleichungen mit reellen Koeffizienten besitzen die Nullstelle −1. Bei 3x³ + 13x² + 13x + 3 führt die Division durch (x + 1) zu 3x² + 10x + 3. Die weiteren Nullstellen sind −1/3 und −3. Bei der antisymmetrischen Gleichung 6x³ + 7x² − 7x − 3 ist 1 eine Nullstelle; die Division durch (x − 1) ergibt wieder 3x² + 10x + 3, mit den weiteren Nullstellen −1/3 und −3.

Eine symmetrische Gleichung 5. Grades ist 6x⁵ + 11x⁴ − 33x³ − 33x² + 11x + 6 = 0. Nach Division durch (x + 1) erhält man 6x⁴ + 5x³ − 38x² + 5x + 6. Die weiteren Nullstellen sind −3, −1/3, 2 und 1/2.

Zu den Anwendungsbeispielen gehören Kreisteilungspolynome, die symmetrisch sind, sowie Alexanderpolynome von Knoten. Bei einem Alexander-Polynom c₀ + c₁·t + … + c₀·tⁿ führt nach Skalierung mit t⁻ⁿ⁄² die Substitution z² = t + 1/t − 2 auf das Conway-Polynom, ein spezielles Alexander-Polynom.