Antisymmetrische Funktion

Grundidee und Definition

Eine antisymmetrische oder schiefsymmetrische Funktion ist eine Funktion mehrerer Variablen, bei der das Vertauschen von Variablen das Vorzeichen ändert. Sie ist das Gegenstück zu einer symmetrischen Funktion. Wichtige Spezialfälle sind antikommutative Verknüpfungen und alternierende Multilinearformen. In der Quantenmechanik besitzen Fermionen Wellenfunktionen, die beim Austausch der Teilchenpositionen antisymmetrisch sind.

Für Vektorräume V und W heißt eine Funktion f: V^n → W antisymmetrisch, wenn für jede Permutation σ ∈ S_n und alle x₁, …, xₙ ∈ V gilt:

f(x₁, …, xₙ) = sgn(σ) f(x_{σ(1)}, …, x_{σ(n)}).

Dabei ist S_n die symmetrische Gruppe aller Permutationen von n Elementen. sgn(σ) ist das Signum der Permutation: Es liefert je nach Permutation ein Vorzeichen.

Nachweis durch Vertauschungen

Man muss nicht alle n! Permutationen aus S_n prüfen. Jede Permutation lässt sich als Hintereinanderausführung von Transpositionen schreiben; eine Transposition vertauscht zwei Variablen.

Daher ist f genau dann antisymmetrisch, wenn für alle i, j ∈ {1, …, n} mit i < j gilt:

f(…, xᵢ, …, xⱼ, …) = −f(…, xⱼ, …, xᵢ, …).

Es genügt also zu zeigen, dass der Funktionswert bei jeder Vertauschung zweier beliebiger Variablen sein Vorzeichen wechselt.

Beispiele und wichtige Sonderfälle

Bei der Subtraktion gilt:

f(x₁, x₂) = x₁ − x₂ = −(x₂ − x₁) = −f(x₂, x₁).

Sie ist somit antisymmetrisch. Beispiele mit drei Variablen sind:

f(x₁, x₂, x₃) = (x₁ − x₂)(x₂ − x₃)(x₃ − x₁)

und

f(x₁, x₂, x₃) = x₁²(x₂ − x₃) + x₂²(x₃ − x₁) + x₃²(x₁ − x₂).

Weitere Beispiele sind das Kreuzprodukt zweier Vektoren, die Lie-Klammer zweier Vektoren und jede antikommutative zweistellige Verknüpfung. Auch die Determinante einer Matrix ist antisymmetrisch in ihren Spaltenvektoren. Eine alternierende Multilinearform ist eine antisymmetrische Funktion in den Skalarkörper, die in jedem Argument linear ist.

Untervektorraum und Antisymmetrisierung

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum aller Funktionen von V^n nach W: Ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion und die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen sind wieder antisymmetrisch. Die Nullfunktion ist trivialerweise antisymmetrisch.

Mit der Antisymmetrisierung lässt sich jeder Funktion f eine antisymmetrische Funktion Af zuordnen:

Af(x₁, …, xₙ) = (1/n!) ∑{σ ∈ Sₙ} sgn(σ) f(x{σ(1)}, …, x_{σ(n)}) = (1/n!) ∑{σ ∈ Sₙ, gerade} f(x{σ(1)}, …, x_{σ(n)}) − (1/n!) ∑{σ ∈ Sₙ, ungerade} f(x{σ(1)}, …, x_{σ(n)}).

Der Antisymmetrisierungsoperator A ist eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen. Ist f(x₁, …, xₙ) ein Produkt von Funktionen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen, heißt es in der Quantenchemie Hartree-Produkt; dann kann Af(x₁, …, xₙ) auch als Slaterdeterminante geschrieben werden.