Maxwell-Gleichungen

Bedeutung und Grundidee

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben den Elektromagnetismus: Sie geben an, wie elektrische und magnetische Felder miteinander sowie mit elektrischen Ladungen und Strömen zusammenhängen. Zusammen mit der Lorentzkraft erfassen sie die klassische Elektrodynamik und bilden eine Grundlage der Optik und Elektrotechnik. Mathematisch sind sie ein System linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung. Es gibt gleichwertige differentielle, integrale, differentialgeometrische und relativistisch kovariante Formulierungen.

Vier Felder sind besonders wichtig: E ist die elektrische Feldstärke, D die elektrische Flussdichte, B die magnetische Flussdichte und H die magnetische Feldstärke. ρ bezeichnet die Ladungsdichte, j die Stromdichte. Der Nabla-Operator ∇ bildet unter anderem die Divergenz ∇·E, welche Quellen eines Feldes beschreibt, und die Rotation ∇×E, welche seine Wirbel beschreibt.

Im Feldlinienbild beginnen elektrische Feldlinien an positiven Ladungen und enden an negativen Ladungen oder im Unendlichen. Ihre Tangente zeigt die Kraftrichtung auf eine positive Probeladung; eine größere Liniendichte steht für ein stärkeres Feld. Magnetische Feldlinien haben dagegen weder Anfang noch Ende: Sie sind geschlossen oder unendlich lang. Änderungen des magnetischen Flusses erzeugen ein elektrisches Wirbelfeld; Ströme und Änderungen der elektrischen Flussdichte erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld.

Die vier Gleichungen

Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen beziehen E und B auf alle Ladungen und Ströme:

• Gaußsches Gesetz des elektrischen Feldes: ∇·E = ρ/ε₀. Elektrische Ladungen sind Quellen oder Senken des elektrischen Feldes.

• Gaußsches Gesetz des Magnetismus: ∇·B = 0. Das Magnetfeld ist quellenfrei; in der klassischen Form der Gleichungen gibt es keine magnetischen Monopole.

• Faradaysches Induktionsgesetz: ∇×E = −∂B/∂t. Eine zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Das Minuszeichen entspricht der Lenzschen Regel: Das induzierte Feld wirkt der verursachenden Änderung entgegen.

• Erweitertes Ampèresches Gesetz oder Maxwell-Ampère-Gesetz: ∇×B = μ₀(j + ε₀ ∂E/∂t). Sowohl der Leitungsstrom als auch der von Maxwell eingeführte Verschiebungsstrom erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld.

Dabei gilt μ₀ε₀ = 1/c². Der Verschiebungsstrom ist entscheidend dafür, dass die Gleichungen mit der Erhaltung elektrischer Ladung vereinbar sind. Aus ihnen folgt die Kontinuitätsgleichung ∂ρ/∂t + div j = 0: Eine Änderung der Ladung in einem Gebiet muss durch einen entsprechenden Strom über dessen Grenze ausgeglichen werden.

Die Felder können außerdem durch das skalare Potential φ und das Vektorpotential A dargestellt werden: E = −∇φ − ∂A/∂t und B = ∇×A. Diese Potentiale sind nur bis auf Eichtransformationen bestimmt, besitzen aber in der Quantentheorie grundlegende Bedeutung.

Differential- und Integralform

Die differentielle Form beschreibt die Felder lokal an jedem Ort. Mithilfe der Sätze von Gauß und Stokes erhält man dazu gleichwertige Integralformen, die Aussagen über ganze Volumina, Flächen und deren Ränder machen.

Für ein Volumen V mit geschlossener Oberfläche ∂V gilt ∮∂V D·dA = Q(V): Der elektrische Fluss durch die Oberfläche entspricht der eingeschlossenen Ladung. Für das Magnetfeld gilt ∮∂V B·dA = 0, weil es keine magnetischen Quellen gibt.

Für eine Fläche A mit Randkurve ∂A lautet das Induktionsgesetz ∮∂A E·ds = −∫A (∂B/∂t)·dA. Die elektrische Zirkulation entlang des Randes ist damit gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Das Durchflutungsgesetz lautet ∮∂A H·ds = ∫A jₗ·dA + ∫A (∂D/∂t)·dA. Die magnetische Zirkulation wird also durch Leitungsstrom und Verschiebungsstrom bestimmt.

Alle beteiligten Größen müssen in demselben Inertialsystem gemessen werden. Bei bewegten Leiterschleifen können Lorentztransformationen nötig sein. Eine häufig angegebene Formel mit einem zusätzlichen Term v×B ist nur eine Näherung für |v| ≪ c.

Materie und Materialgleichungen

In Materie wäre es unpraktisch, jeden einzelnen atomaren Ladungsträger zu verfolgen. Die makroskopische Beschreibung mittelt deshalb über kleine Bereiche und unterscheidet freie Ladungen und Ströme von gebundenen Ladungen. Gebundene Ladungen führen zur elektrischen Polarisation P, magnetische Dipole zur Magnetisierung M.

Dafür werden D und H eingeführt: D = ε₀E + P, H = B/μ₀ − M, also B = μ₀(H + M).

Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen lauten ∇·D = ρ_frei, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t und ∇×H = j_frei + ∂D/∂t. Sie enthalten damit nur die freien Ladungen und Ströme ausdrücklich; die Reaktion des Materials steckt in P und M beziehungsweise in den Materialgleichungen.

Für lineare isotrope oder kubische Materialien vereinfachen sich diese zu D = ε₀εᵣE = εE und B = μ₀μᵣH = μH. Außerdem gilt bei ohmscher Leitung j = σE. In anisotroper linearer Materie sind εᵣ und μᵣ Tensoren zweiter Stufe. In nichtlinearen Stoffen können die Materialgrößen von den momentanen Feldstärken oder wegen Hysterese sogar von deren gesamter Vorgeschichte abhängen.

Die Suszeptibilitäten beschreiben die Polarisierbarkeit: P = ε₀χₑE = ε₀(εᵣ−1)E mit εᵣ = 1 + χₑ. Entsprechend gilt für die magnetische Polarisation J = μ₀M: J = μ₀χₘH = μ₀(μᵣ−1)H und μᵣ = 1 + χₘ.

Aus den Materialgrößen folgen n = √(εᵣμᵣ) für den Brechungsindex und c = 1/√(ε₀μ₀). Die Phasengeschwindigkeit in einem Medium beträgt cₚ = c/n = 1/√(ε₀μ₀εᵣμᵣ); ohne Dispersion stimmt sie mit der Gruppengeschwindigkeit überein. Materialgleichungen und Kontinuitätsgleichungen werden traditionell nicht zu den vier Maxwell-Gleichungen gezählt, ergänzen sie aber zu einer vollständigen Beschreibung.

Geometrische und relativistische Form

Differentialformen stellen die Gleichungen koordinatenunabhängig dar und eignen sich auch für Mannigfaltigkeiten, also verallgemeinerte Räume. Im dreidimensionalen Ansatz ist E eine Einsform, die über Kurven integriert wird; D und B sind Zweiformen, die über Flächen integriert werden. Mit der äußeren Ableitung d lauten die Gleichungen dD = ρ, dH = ∂ₜD + j, dE + ∂ₜB = 0 und dB = 0. Die Materialgleichungen D = ε₀E und B = μ₀H verwenden den Hodge-Stern-Operator *. Erst durch ihn geht die Metrik, also die geometrische Längen- und Winkelstruktur, ein.

Im vierdimensionalen Raum der speziellen Relativitätstheorie werden Raum und Zeit gemeinsam behandelt. Aus dem Viererpotential A entsteht die Faradayzweiform beziehungsweise der Feldstärketensor F = dA. Weil d² = 0 gilt, folgen die homogenen Gleichungen unmittelbar als dF = 0. Mit der Stromform J und der dualen Feldform *F lassen sich die inhomogenen Gleichungen als d(*F) = J schreiben; daraus folgt erneut dJ = 0 und damit die Ladungserhaltung.

In Tensorform werden skalares Potential und Vektorpotential zum Viererpotential A^μ = (φ/c, A), Ladungs- und Stromdichte zur Viererstromdichte j^μ = (cρ, j). Die inhomogenen Vakuumgleichungen lauten ∂αF^{αβ} = μ₀j^β, die homogenen Gleichungen ∂αF_{βγ} + ∂βF_{γα} + ∂γF_{αβ} = 0. Diese Form macht sichtbar, dass die Gleichungen unter Lorentztransformationen ihre Gestalt behalten und daher mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar sind.

Spezialfälle, Einheiten und Entwicklung

Bei harmonischen, also sinusförmigen Vorgängen mit Kreisfrequenz ω wird die Zeitabhängigkeit durch e^{jωt} dargestellt. Die Zeitableitung wird dann durch Multiplikation mit jω ersetzt; die Feldgrößen sind komplexe, nur noch ortsabhängige Amplituden. Beispielsweise gelten ∇×E = −jωB und ∇×H = j + jωD = (σ + jωε)E. Diese Schreibweise ist besonders für Antennen und elektromagnetische Abschirmungen wichtig.

Magnetische Monopole sind hypothetische magnetische Ladungen. Reale Monopolteilchen wurden bislang nicht gefunden; beobachtet wurden nur Quasiteilchen. Falls Monopole mit Dichte ρₘ und Stromdichte jₘ existierten, würden zwei Gleichungen zu div B = ρₘ und rot E = −(∂B/∂t + jₘ). Für ρₘ = 0 erhält man wieder die üblichen Gleichungen.

Die Maxwell-Gleichungen setzen eine verschwindende Photonmasse voraus. Sie sind der Grenzfall m = 0 der Maxwell-Proca-Gleichungen. Für m > 0 würde eine Punktladung statt des Coulomb-Potentials q/r das Yukawa-Potential (q/r)e^(−mcr/ħ) erzeugen; dessen Reichweite läge etwa bei der Compton-Wellenlänge λₘ = h/(mc).

Andere Einheitensysteme verändern Vorfaktoren, nicht den physikalischen Inhalt. In natürlichen Einheitensystemen fallen Naturkonstanten weg. Im gaußschen CGS-System treten unter anderem Faktoren 4π und 1/c auf; beispielsweise gilt ∇·D = 4πρ. Im rationalisierten Heaviside-Lorentz-System entfallen die 4π-Faktoren, und zusammen mit Planck-Einheiten enthalten die Gleichungen keine Konstanten.

Maxwell erarbeitete die Theorie von 1861 bis 1864 und veröffentlichte sie 1865. Sein ursprüngliches System umfasste zwanzig Gleichungen, darunter Definitionen und Beziehungen, die heute nicht mehr zu den eigentlichen Maxwell-Gleichungen gezählt werden. Oliver Heaviside sowie unabhängig Josiah Willard Gibbs und Heinrich Hertz brachten das System später in die heute übliche Vektornotation mit vier Gleichungen.