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Messbare Funktion
Von messbaren Funktionen wird verlangt, dass das Urbild gewisser Mengen wieder in einem bestimmten Mengensystem liegt. Messbare Funktionen spielen eine wichtige …
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Grundidee und Definition
Messbare Funktionen werden in der Maßtheorie untersucht. Die Maßtheorie verallgemeinert Begriffe wie Länge und Volumen. Eine Funktion heißt messbar, wenn Urbilder messbarer Mengen wieder messbar sind. Das ist wichtig, weil so in der Stochastik Zufallsvariablen und in der Maßtheorie Bildmaße konstruiert werden können.
Gegeben seien zwei Messräume (X_1, A_1) und (X_2, A_2). Ein Messraum besteht aus einer Grundmenge und einer σ-Algebra, also einem Mengensystem, das die messbaren Mengen festlegt. Für eine Funktion f: X_1 -> X_2 heißt f messbar, wenn für jede messbare Menge A_2 in A_2 gilt:
f^{-1}(A_2) in A_1, für alle A_2 in A_2,
wobei f^{-1}(A_2) := {x in X_1 : f(x) in A_2} das Urbild von A_2 unter f ist. Man nennt f dann auch A_1-A_2-messbar. Wenn klar ist, welche Messräume gemeint sind, sagt man kurz, f sei messbar.
Eine Funktion heißt Borel-messbar, wenn sie bezüglich zweier borelscher σ-Algebren messbar ist. Sie heißt Lebesgue-messbar, wenn sie bezüglich zweier Lebesgue-σ-Algebren messbar ist. Es gibt auch Mischformen wie Lebesgue-Borel-messbar oder Borel-Lebesgue-messbar. Wichtig ist: Für die Definition einer messbaren Funktion muss noch kein Maß definiert sein.
Einordnung und einfache Beispiele
Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Lebesgue-Integration motiviert. Für die Lebesgue-Integration einer Funktion f: R -> R bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form f^{-1}([a,b]) ein Maß zugeordnet werden können. Bei manchen Funktionen, zum Beispiel Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen, ist dies nicht möglich. Für beliebige Maßräume führt diese Idee zur allgemeinen Definition messbarer Funktionen.
Der Begriff ähnelt der Stetigkeit in der Topologie. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Da die borelsche σ-Algebra von den offenen Mengen erzeugt wird, ist jede stetige Funktion zwischen topologischen Räumen, die mit ihren Borel-σ-Algebren versehen sind, Borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung beschreibt der Satz von Lusin.
Einfache Beispiele zeigen die Definition: Wenn A_2 = {leere Menge, X_2} die triviale σ-Algebra ist, dann ist jede Funktion f: X_1 -> X_2 messbar, weil nur die Urbilder der leeren Menge und von X_2 geprüft werden müssen. Diese sind immer die leere Menge beziehungsweise X_1. Wenn A_1 = P(X_1) die Potenzmenge ist, ist ebenfalls jede Funktion messbar, weil jedes Urbild eine Teilmenge von X_1 ist.
Jede konstante Funktion f(x_1)=c ist messbar. Für A in A_2 gilt f^{-1}(A)=X_1, falls c in A liegt, und f^{-1}(A)=leere Menge, falls c nicht in A liegt. Beide Mengen sind in jeder σ-Algebra enthalten.
Auch Indikatorfunktionen liefern ein Standardbeispiel. Ist M in A_1 und f = chi_M eine Funktion nach {0,1} mit der Potenzmenge P({0,1}), dann ist f messbar. Es gilt f^{-1}({1})=M, f^{-1}({0})=X_1 \ M, f^{-1}(leere Menge)=leere Menge und f^{-1}({0,1})=X_1.
Prüfen von Messbarkeit
Um Messbarkeit zu prüfen, muss man nicht immer alle Mengen einer σ-Algebra einzeln betrachten. Häufig genügt ein Erzeugendensystem. Ist E_2 ein Erzeuger von A_2, also σ(E_2)=A_2, dann ist f genau dann messbar, wenn f^{-1}(E) in A_1 für alle E in E_2 gilt. Daraus folgt erneut: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen mit Borel-σ-Algebren sind messbar, weil die Urbilder offener Mengen offen sind und die offenen Mengen die Borel-σ-Algebra erzeugen.
Für reellwertige Funktionen gibt es besonders praktische Kriterien. Für eine Abbildung f von einem Messraum (X,A) nach (R, B(R)) gilt: f ist genau dann messbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
- {f <= a} in A für alle a in R,
- {f < a} in A für alle a in R,
- {f >= a} in A für alle a in R,
- {f > a} in A für alle a in R.
Dabei bedeutet {f <= a} die Menge {x in X | f(x) <= a} = f^{-1}((−∞,a]). Es genügt sogar, wenn a nur alle rationalen Zahlen durchläuft, weil die entsprechenden Intervalle ein Erzeugendensystem der borelschen σ-Algebra bilden.
Zu jeder Abbildung f: X_1 -> X_2, wobei X_2 mit A_2 versehen ist, gibt es eine kleinste σ-Algebra auf X_1, bezüglich der f messbar ist. Sie heißt Initial-σ-Algebra und wird mit σ(f) oder I(f) bezeichnet. Für eine Familie von Funktionen (f_i)_{i in I} ist die Initial-σ-Algebra die kleinste σ-Algebra, bezüglich der alle f_i messbar sind. Für eine einzelne Funktion f ist wegen der Stabilität des Urbildes bereits f^{-1}(A_2) diese Initial-σ-Algebra.
Rechenregeln und Verkettungen
Messbarkeit bleibt unter wichtigen Operationen erhalten. Sind (X_1,A_1), (X_2,A_2) und (X_3,A_3) Messräume, f A_1-A_2-messbar und g A_2-A_3-messbar, dann ist die verkettete Funktion h(x)=g(f(x)) A_1-A_3-messbar.
Umgekehrt kann man unter bestimmten Bedingungen aus der Messbarkeit verketteter Funktionen auf die Messbarkeit einer Funktion schließen. Sind f_i Funktionen von (X_2,A_2) nach (X_i,A_i) und ist A_2 = I(f_i) die Initial-σ-Algebra, dann ist eine Funktion f von (X_1,A_1) nach (X_2,A_2) genau dann messbar, wenn f_i o f für alle i in I A_1-A_i-messbar ist.
Für Funktionen g: (R, B(R)) -> (R, B(R)) sind zum Beispiel folgende Funktionen messbar: g(x)=max(0,x)=x^+, g(x)=min(0,x)=x^-, g(x)=|x| und g(x)=sgn(x).
Eine Funktion f: (X_1,A_1) -> (R^n, B(R^n)) ist genau dann messbar, wenn jede Komponentenfunktion f_i A-B(R)-messbar ist. Sind f und g messbare Funktionen von (X_1,A_1) nach (R^n, B(R^n)), dann sind auch f+g und f-g messbar. Ist h messbar von (X_1,A_1) nach (R, B(R)), dann ist f·h messbar. Mit der Konvention x/0=0 ist auch f/h messbar.
Für eine Folge messbarer Funktionen (f_n)_{n in N} nach dem erweiterten reellen Zahlenraum überline R bleiben Infimum, Supremum, Limes inferior und Limes superior wieder messbar.
Approximation und Faktorisierung
Eine wichtige Eigenschaft positiver messbarer Funktionen ist ihre Approximation durch einfache Funktionen. Eine einfache Funktion ist eine Linearkombination von Indikatorfunktionen messbarer Mengen. Jede positive messbare Funktion lässt sich durch eine monoton wachsende Folge einfacher Funktionen approximieren. Ein Beispiel ist
f_n(x)=min(2^{-n} floor(2^n f(x)); n).
Diese Approximation ist wichtig für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals: Das Integral wird zuerst für einfache Funktionen definiert und danach auf alle messbaren Funktionen erweitert.
Das Faktorisierungslemma beschreibt Messbarkeit bezüglich einer von einer Funktion erzeugten σ-Algebra. Es seien (X_2,A_2) ein Messraum und f: X_1 -> X_2 eine Abbildung. Es bezeichne σ(f):=f^{-1}(A_2) die von f und A_2 erzeugte σ-Algebra auf X_1. Für einen weiteren Messraum (X_3,A_3) und eine Abbildung g: X_1 -> X_3 sind äquivalent:
(1) g ist (X_1,σ(f))-(X_3,A_3)-messbar.
(2) Es existiert eine messbare Funktion tilde g: (X_2,A_2) -> (X_3,A_3) mit g = tilde g o f.
Man sagt dann, dass g über f messbar faktorisiert wird. Informell heißt das: Eine Funktion ist genau dann bezüglich einer durch f induzierten σ-Algebra messbar, wenn sie als messbare Funktion nach f geschrieben werden kann. Das Lemma wird unter anderem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Konstruktion der faktorisierten bedingten Erwartung und in der Statistik für suffiziente Statistiken zur Datenreduktion verwendet.
Verwandte Begriffe und Abgrenzung
Lebesgue- und Borel-Messbarkeit müssen sorgfältig unterschieden werden. Eine reelle Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Ebenso ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Deshalb ist die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen nicht zwangsläufig wieder Lebesgue-Borel-messbar.
Ein verwandter Begriff ist starke Messbarkeit. Eine Funktion in einem metrischen Raum heißt stark messbar, wenn sie punktweiser Limes von Elementarfunktionen ist. Elementarfunktionen sind messbare Funktionen mit endlichem Bild. Jede messbare Funktion mit separablem Bild ist stark messbar, und jede stark messbare Funktion ist messbar. Der Unterschied zwischen starker Messbarkeit und Messbarkeit tritt nur auf, wenn der Zielraum nicht separabel ist, zum Beispiel bei verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral.
Messbare Funktionen, deren Umkehrabbildung ebenfalls messbar ist, heißen bimessbare Funktionen.
Von der Messbarkeit einer Funktion ist die Messbarkeit einer Menge zu unterscheiden. Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr damit potentiell ein Maß zugeordnet werden kann. Außerdem gibt es die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes; dafür wird nur ein äußeres Maß benötigt.