Stoßmittelpunkt

Kernidee und Bedeutung

Der Stoßmittelpunkt und der Schwingungsmittelpunkt sind in der Mechanik derselbe Punkt eines festen Körpers. Der Stoßmittelpunkt ist der Punkt, an dem ein Stoß so wirkt, dass an einem bestimmten Halte- oder Aufhängepunkt kein störender Prellstoß entsteht. Fasst man zum Beispiel den Stiel eines Hammers oder Beils im Stoßmittelpunkt, muss die Hand beim Hämmern keinen Prellstoß aushalten. In der Praxis ist der Stiel gewöhnlich so lang, dass der Stoßmittelpunkt an seinem Ende liegt.

Der Schwingungsmittelpunkt beschreibt denselben Punkt aus Sicht der Pendelbewegung. Wenn man einen aufgehängten Körper durch einen einzelnen Massenpunkt im Schwingungsmittelpunkt ersetzt, dann hat dieses mathematische Pendel dieselbe Schwingungsdauer wie der ursprüngliche Körper. Die Länge vom Aufhängepunkt bis zu diesem Punkt heißt auch reduzierte Länge.

Der Schwingungsmittelpunkt wird gelegentlich auch Oszillationszentrum genannt. Historisch war die Theorie des Schwingungsmittelpunktes von der Mitte des 17. bis zur Mitte des 18. Jahrhunderts ein zentrales Thema bei der Entstehung der klassischen Mechanik. Heute gilt sie als Anwendung der Eulerschen Gleichungen für starre Körper.

Anschauliche Beschreibung

Bei einem Beil, das auf einen Klotz trifft, übt der Klotz eine Reaktionskraft F auf das Beil aus. Diese Kraft hat zwei Wirkungen: Sie beschleunigt das Beil nach oben und versetzt es zugleich in eine Drehung. Durch die Aufwärtsbeschleunigung bewegt sich das Griffende nach oben; durch die Drehung senkt es sich. Für die Hand ist der Punkt am Griff am angenehmsten, an dem sich diese beiden Bewegungswirkungen gerade ausgleichen. Dort wird der Griff weder nach oben noch nach unten beschleunigt und übt keine Kraft auf die Hand aus. Dieser Punkt ist der Stoßmittelpunkt.

Vorausgesetzt wird dabei, dass der Körper eine Symmetrieebene besitzt und die Stoßkraft in dieser Ebene wirkt. Dann kippt der Körper durch den Stoß nicht senkrecht zur betrachteten Ebene. Für den Stoßmittelpunkt ist nur die Kraftkomponente senkrecht zum Griff entscheidend. Eine Kraftkomponente entlang des Griffs kann unangenehm sein; sie lässt sich vermeiden, wenn der Griff beim Aufprall senkrecht zur Stoßkraft steht.

Anwendungen gibt es nicht nur bei Beil und Hammer. Wird eine Billardkugel auf einer glatten Ebene in ihrem Stoßmittelpunkt angestoßen, rollt sie schlupflos ab. Wird ein Körper mit Symmetrieebene, etwa ein Hammer, ein Glockenklöppel oder ein ballistisches Pendel, in seinem Stoßmittelpunkt aufgehängt, erfährt die Drehachse keinen Stoßdruck. Bei einer aufklappenden Tür werden die Türangeln nur minimal belastet, wenn ein Türstopper bei 2/3 der Türbreite wirkt; dabei wird die Elastizität der Tür vernachlässigt.

Stoßmittelpunkt als Formel

Betrachtet wird ein fester Körper, der in einem Punkt P frei drehbar aufgehängt ist. Der Körper soll eine Symmetrieebene besitzen, in der der Massenmittelpunkt S, das Lager P und die Wirkungslinie der Stoßkraft F liegen. Dann führt der Körper eine ebene Bewegung aus.

Eine horizontale Kraft F soll im Punkt C so wirken, dass der Lagerpunkt P beim Beginn der Bewegung in Ruhe bleibt, keine horizontale Lagerreaktion auftritt und die Bewegung zunächst eine reine Drehung um P ist. Dann ist P der anfängliche Momentanpol. Für die Lage des Stoßmittelpunkts gilt:

|PC| = r + e = r + θ_S/(mr) oder |SC| = e = θ_S/(mr)

Dabei ist m die Masse des Körpers, r der Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt, also |PS|, und θ_S das Massenträgheitsmoment des Körpers um den Massenmittelpunkt S mit einer Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.

Die Herleitung nutzt den Drallsatz. In Worten lautet er: Drehmoment gleich Kraft mal Hebelarm um einen Punkt ist gleich Massenträgheitsmoment um diesen Punkt mal Winkelbeschleunigung. Formal steht im Artikel:

M = r × F = θ · α¨

Für die Punkte P und S ergibt sich mit dem Massenträgheitsmoment θ_P um P:

(r+e)F = θ_P α¨ und eF = θ_S α¨

Damit beide Beschreibungen dieselbe Winkelbeschleunigung α¨ ergeben, muss gelten:

α¨ = (r+e)F/θ_P = eF/θ_S

Mit dem Steiner’schen Satz θ_P = mr² + θ_S folgt wieder:

|PC| = r + e = r + θ_S/(mr) oder |SC| = e = θ_S/(mr)

Schwingungsmittelpunkt und mathematisches Pendel

Beim Schwingungsmittelpunkt wird derselbe Körper als physikalisches Pendel betrachtet. Ein physikalisches Pendel ist ein ausgedehnter Körper, der in P drehbar aufgehängt ist. Die Gewichtskraft mg greift im Schwerpunkt S an. Liegt S nicht genau lotrecht unter oder über P, erzeugt die Gewichtskraft ein Drehmoment, das den Körper zum Pendeln anregt.

Für kleine Schwingungen hat das physikalische Pendel die Kreisfrequenz:

ω_p² = rmg/θ_P

Dabei ist r der Abstand des Schwerpunkts vom Stützpunkt, m die Masse, g die Schwerebeschleunigung und θ_P das Massenträgheitsmoment um P mit einer Drehachse senkrecht zur Schwingungsebene.

Ein mathematisches Pendel besteht aus einem Massenpunkt, der im Schwerefeld an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Seine Kreisfrequenz hängt nur vom Abstand |PC| = r + e vom Lager ab, nicht von der Masse:

ω_m² = g/(r+e)

Der Schwingungsmittelpunkt C liegt dort, wo beide Kreisfrequenzen übereinstimmen:

ω_p² = rmg/θ_P = ω_m² = g/(r+e)

Daraus folgt:

|PC| = r + e = θ_P/(mr)

Mit dem Steiner’schen Satz θ_P = mr² + θ_S erhält man dieselbe Lage wie beim Stoßmittelpunkt:

|PC| = r + e = (mr² + θ_S)/(mr) = r + θ_S/(mr) oder |SC| = e = θ_S/(mr)

Eine wichtige Eigenschaft lautet: Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels ändert sich nicht, wenn Aufhängepunkt und Schwingungsmittelpunkt vertauscht werden. Beim mathematischen Pendel ist θ_S = 0; deshalb stimmen Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Stoßmittelpunkt und Schwingungsmittelpunkt überein.

Beispiele

Ein Beispiel ist ein an einem Ende aufgehängter Balken mit rechteckigem Querschnitt. Er hat die Länge R = 2r, die Masse m, die Breite B und die Höhe H senkrecht zur Bildebene. Sein Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt ist:

θ_S = m(R² + B²)/12

Für den Stoß- und Schwingungsmittelpunkt ergibt sich der Abstand vom aufgehängten Ende:

|PC| = r + e = r + θ_S/(mr) = r + m(R²+B²)/(12mr) = r + (4r²+B²)/(12r) = 4/3 r + B²/(12r)

Für B = r/2 = R/4 folgt:

|PC| = r + e = 65/48 r = 1,35416̅ r

und:

|SC| = e = 0,35416̅ r

Bei einem dünnen Balken mit vernachlässigbarer Dicke B, etwa idealisiert bei einer Tür, gilt:

|PC| = r + e = 4/3 r = 2/3 R

und:

|SC| = e = r/3 = R/6

Ein weiteres Beispiel ist ein zusammengesetztes Pendel aus starr verbundenen Punktmassen an einer masselosen Stange. Bei zwei Massen m_A und m_B in den Abständen a und b vom Aufhängungspunkt P ist das Trägheitsmoment:

θ_P = m_A a² + m_B b²

Der Schwerpunktabstand r folgt aus:

m · r = m_A a + m_B b, mit m = m_A + m_B

Daraus ergibt sich der Schwingungsmittelpunkt:

|PC| = (m_A a² + m_B b²)/(m_A a + m_B b)

Für n Massen in Abständen d_1 bis d_n gilt allgemein:

|PC| = (Σ_1^n m_i · d_i²)/(Σ_1^n m_i · d_i)

Im Grenzübergang zu unendlich vielen Punktmassen und homogener Massenverteilung entsteht der Fall eines dünnen starren Balkens. Dann ergibt sich:

|PC| = (ρ · ∫_R x² dx)/(ρ · ∫_R x dx) = (1/3 R³)/(1/2 R²) = 2/3 R

Historische Entwicklung

Die ursprüngliche Problemstellung zum Stoßmittelpunkt findet sich 1621 in der Mechanik Bernardino Baldis. Er fragte, an welcher Stelle eine einschlagende Axt oder ein Schwert die maximale Wirkung auf den getroffenen Körper ausübt. Zugleich bemerkte er, dass sich diese Stelle verändert, wenn ein Stoß nicht mehr rein im Schwerpunkt wirkt, sondern eine Rotation außerhalb des Schwerpunkts auslöst.

Marin Mersenne griff das Problem 1644 im Tractatus Mechanicus auf und definierte es erstmals klar. Er verbreitete die Fragestellung unter mathematischen Gelehrten und regte experimentelle Lösungen an. In dieser Zeit wurden verschiedene Definitionen verbunden: der Punkt maximaler Stoßwirkung, der Schwingungsmittelpunkt eines Fadenpendels und der Punkt, bei dem am Aufhängungspunkt kein Prellstoß auftritt.

Als zentrale Schwierigkeit erkannte man früh, dass die Lage des Schwingungsmittelpunkts von der Massenverteilung und damit von der Gestalt des Körpers abhängt. Untersucht wurden unter anderem zusammengesetzte Pendel und symmetrische Körper wie Zylinder, Kegel, Pyramiden, Kugeln und Keile, oft in zweidimensionalen Vereinfachungen.

Die erste allgemeine theoretische Lösung für beliebig zusammengesetzte Körper geht auf Christiaan Huygens zurück. In seinem Horologium Oscillatorium von 1673 nutzte er die Gesetze des elastischen Stoßes und eine Erweiterung des nach Torricelli benannten Prinzips der Energieerhaltung des Systemschwerpunktes. Später folgten weitere Beweisverfahren, unter anderem von Jakob Bernoulli 1703 aus dem Hebelprinzip sowie Beiträge von Brook Taylor, Johann Bernoulli, Jakob Hermann, Jean d’Alembert und Leonhard Euler. Die allgemeine Herleitung aus dem Drallsatz geht auf Euler zurück und steht in Theoria Motus Corporum Solidorum et Rigidorum von 1765. Dort ergibt sich die Formel |OS| = θ_O/(mr) als gesicherte Folgerung aus Begriffen wie Trägheitsmoment, Winkelgeschwindigkeit und Momentengleichung.