Stoß (Physik)

Grundlagen und Einteilung

Ein Stoß ist ein Vorgang, bei dem zwei oder mehr Körper kurzzeitig Kräfte aufeinander ausüben. Dadurch ändern sich ihr Bewegungszustand und möglicherweise auch ihre Form oder Zusammensetzung. In einem Inertialsystem gilt für jeden Stoß der Impulserhaltungssatz: Die Summe aller Impulsvektoren bleibt konstant. Auch die Energieerhaltung ist wichtig; dabei können jedoch mechanische Energieformen, etwa Bewegungsenergie, in innere Energie oder andere Energieformen übergehen.

Am Berührpunkt zweier Körper lässt sich eine Tangentialebene, die Berührebene, anlegen. Die dazu senkrechte Normalgerade heißt Stoßlinie. Für die Körper gelten die Massen m₁ und m₂, die Anfangsgeschwindigkeiten v₁ und v₂ sowie die Endgeschwindigkeiten v₁′ und v₂′. Die Geschwindigkeit u des gemeinsamen Schwerpunkts bleibt vor, während und nach dem Stoß konstant.

Man unterscheidet als ideale Grenzfälle den elastischen und den plastischen beziehungsweise unelastischen Stoß. Beim elastischen Stoß bleibt die gesamte kinetische Energie erhalten; die Körper stoßen sich wieder voneinander ab. Beim plastischen Stoß wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie umgewandelt. Im ideal plastischen Fall bewegen sich beide Körper anschließend mit derselben Geschwindigkeit weiter. Reale Stöße liegen zwischen diesen Grenzfällen.

Bei einem geraden Stoß verlaufen die Impulsvektoren parallel zur Stoßlinie, bei einem schiefen Stoß nicht. Ein zentraler Stoß liegt vor, wenn der gemeinsame Schwerpunkt auf der Stoßlinie liegt; andernfalls ist der Stoß exzentrisch. Beim glatten Stoß wirken keine relevanten Reibungskräfte an der Berührungsfläche. Beim unglatten, rauen oder Reibungsstoß treten solche Kräfte auf, sodass Impuls auch tangential zur Berührebene übertragen wird. Dann müssen zusätzlich Rotationsenergie und Drehimpuls betrachtet werden.

Für die vereinfachte Berechnung wird angenommen, dass der Stoß unendlich kurz dauert, sich die Positionen der Körper währenddessen nicht ändern und sich ihre Geschwindigkeiten sprunghaft ändern. Außerdem wird freie Beweglichkeit vorausgesetzt, sodass nur geradlinige Bewegungen betrachtet werden.

Elastischer Stoß

Beim ideal elastischen oder vollelastischen Stoß wird keine Energie in innere Energie, beispielsweise Wärme oder Deformation, umgewandelt. Daher gilt neben der vektoriellen Impulserhaltung auch die Erhaltung der kinetischen Energie:

m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = m₁v₁′²/2 + m₂v₂′²/2.

Für den Impuls gilt:

m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ = m₁v⃗₁′ + m₂v⃗₂′.

Die Impulsänderungen der beiden Körper sind entgegengesetzt gleich. Betrachtet man nur die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung des Impulsübertrags, reduziert sich der Stoß auf ein eindimensionales Problem. Die orthogonalen Komponenten ändern sich durch den Stoß nicht.

Die mittlere Geschwindigkeit der beiden Massen in Stoßrichtung ist vor und nach dem Stoß gleich:

u = (v₁ + v₁′)/2 = (v₂ + v₂′)/2.

Sie entspricht der Geschwindigkeit des gemeinsamen Schwerpunkts:

u = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂).

Die Endgeschwindigkeiten lauten:

v₁′ = 2(m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) − v₁,

v₂′ = 2(m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) − v₂.

Für gleiche Massen, m₁ = m₂, werden die Geschwindigkeiten vertauscht: v₁′ = v₂ und v₂′ = v₁. Ist eine leichte Masse m₁ viel kleiner als eine ruhende schwere Masse m₂, also m₁ ≪ m₂ und v₂ = 0, prallt die leichte Masse näherungsweise mit umgekehrter Geschwindigkeit zurück, während die schwere Masse nahezu in Ruhe bleibt. Ist dagegen m₁ viel größer als eine ruhende leichte Masse m₂, so bewegt sich die schwere Masse fast unverändert weiter, während die leichte Masse näherungsweise die doppelte Geschwindigkeit 2v⃗₁ erhält. In allen Fällen bleibt die Schwerpunktgeschwindigkeit konstant.

Bei makroskopischen Körpern ist der ideale elastische Stoß eine Modellvorstellung, da durch Reibung und ähnliche Einflüsse kinetische Energie verloren geht. Billardkugeln kommen dem Modell nahe, weil sie gewöhnlich kaum plastisch verformt werden. Bei Atomen und Elementarteilchen sind ideale elastische Stöße häufig. Sie sind der einzige mögliche Prozess, wenn die kinetische Energie im Schwerpunktsystem kleiner ist als die Mindestenergie für eine innere Anregung oder eine Teilchenumwandlung.

Zweidimensionaler Stoß

Ein zweidimensionaler elastischer Stoß wird auf einen eindimensionalen Stoß in Zentralrichtung zurückgeführt. Dazu wird zunächst die Zentralsteigung s_z bestimmt. Sie beschreibt die Steigung der Geraden durch die Mittelpunkte der beiden Kugeln. Die Steigung s_t der Tangente durch den Berührpunkt ist

s_t = −1/s_z.

Die Geschwindigkeitsvektoren werden in eine Tangentialkomponente parallel zur Tangente und eine Zentralkomponente orthogonal dazu zerlegt. Für einen Geschwindigkeitsvektor v⃗ = [x_v, y_v]ᵀ gilt v⃗ = v⃗_t + v⃗_z sowie

x_v = x_t + x_z,

y_v = y_t + y_z.

Mit den Steigungen s_v, s_t und s_z ergeben sich für die x-Komponenten:

x_t = x_v · (s_z − s_v)/(s_z − s_t),

x_z = x_v · (s_t − s_v)/(s_t − s_z).

Die y-Komponenten werden durch y_t = x_t · s_t und y_z = x_z · s_z berechnet. Anschließend wird der eindimensionale elastische Stoß nur auf die Zentralkomponenten angewendet. Bei gleichen Massen gilt v⃗_z1′ = v⃗_z2 und v⃗_z2′ = v⃗_z1. Die Endgeschwindigkeiten entstehen schließlich durch Vektoraddition:

v⃗₁′ = v⃗_t1 + v⃗_z1′,

v⃗₂′ = v⃗_t2 + v⃗_z2′.

Unelastischer und realer Stoß

Beim unelastischen, inelastischen oder plastischen Stoß wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie U umgewandelt. Die innere Energie der beiden Körper erhöht sich um ΔU. Ursachen können plastische Deformation oder Reibungswärme sein, etwa in einem Stoßdämpfer. Der Impuls bleibt trotzdem erhalten.

Beim ideal unelastischen, vollkommen unelastischen oder vollplastischen Stoß wird der maximal mögliche Anteil der kinetischen Energie umgewandelt. Die Körper haften danach aneinander und bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit v′ weiter:

v₁′ = v₂′ = v′,

v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂).

Für m₁ = m₂ = m und v₂ = 0 gilt v′ = v₁/2 = v/2. In diesem Fall beträgt die umgewandelte Energie ΔU = E′_kin = E_kin/2 = m·v²/4. Allgemein gilt:

ΔU = 1/2 · m₁m₂/(m₁ + m₂) · (v₁ − v₂)².

Ein Beispiel sind zwei Plastilinkugeln, die nach dem Stoß aneinander haften. Eine Anwendung der Theorie ist das ballistische Pendel.

Ein realer Stoß ist eine Mischform aus ideal elastischem und ideal plastischem Stoß und wird daher auch teilelastischer oder teilplastischer Stoß genannt. Die Stoßzahl k, auch Restitutionskoeffizient genannt, ist eine empirische Materialgröße:

k = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂).

Für einen Fallversuch mit v₂ = v₂′ = 0 gilt k = √(h₁′/h₁). Die Grenzwerte bedeuten: k = 0 kennzeichnet den vollkommen plastischen Stoß, k = 1 den vollkommen elastischen Stoß.

Für einen teilelastischen Stoß lauten die Endgeschwindigkeiten:

v₁′ = [m₁v₁ + m₂v₂ − m₂(v₁ − v₂)k]/(m₁ + m₂),

v₂′ = [m₁v₁ + m₂v₂ − m₁(v₂ − v₁)k]/(m₁ + m₂).

Die Formänderungsarbeit beziehungsweise der Carnotsche Energieverlust ist

ΔE = U = [m₁m₂/(2(m₁ + m₂))] · (v₁ − v₂)² · (1 − k²).

Sie beschreibt die Umwandlung kinetischer Energie in andere Energieformen. Mit k = 0 oder k = 1 gehen die Formeln in die Ergebnisse des plastischen beziehungsweise elastischen Stoßes über.

Kraftverlauf und besondere Stoßformen

Bei realen Körpern erfolgt die Impulsübertragung nicht momentan, sondern während einer kurzen Zeitspanne. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt p⃗̇ = F⃗: Die Geschwindigkeit, mit der sich der Impuls ändert, wird durch die wirkende Kraft bestimmt. Fällt beispielsweise ein elastischer Ball auf den Boden, verformt er sich. Die dadurch entstehende nach oben gerichtete Kraft bremst ihn zunächst bis zur momentanen Geschwindigkeit Null und beschleunigt ihn danach wieder, bis er sich vom Boden löst. Der gesamte Vorgang entspricht einem Kraftstoß.

Nach dem dritten Newtonschen Gesetz, actio = reactio, erfahren beide Stoßpartner gleich große Kraftstöße in entgegengesetzter Richtung:

∫ F⃗₂₁(t) · dt = −∫ F⃗₁₂(t) · dt.

Beim Doppelball-Versuch lässt sich die Impulsübertragung veranschaulichen; dabei kann kinetische Energie auffällig von einem Stoßpartner auf den anderen übertragen werden.

Beim superelastischen Stoß wird innere Energie mindestens eines Stoßpartners in kinetische Energie umgewandelt. Deshalb ist die kinetische Energie nach dem Stoß größer als vorher. Mathematisch wird der allgemeine unelastische Stoß verwendet, jedoch gilt U < 0.

Beim reaktiven Stoß laufen zusätzlich Reaktionen ab, beispielsweise chemische Reaktionen oder die Erzeugung neuer Teilchen bei Stößen hochenergetischer Teilchen. Vor und nach dem Stoß können daher unterschiedliche Teilchen zu Energie und Impuls beitragen. Neben den Geschwindigkeiten können sich Massen und die Anzahl der Teilchen ändern.

Eine Form des reaktiven Stoßes ist der Ladungsaustausch. Dabei tauschen Atome, Moleküle oder Ionen ein oder mehrere Elektronen aus. Mit großer Wahrscheinlichkeit gehen die Elektronen auf den Stoßpartner mit der positiveren Ladung über. Positive Ionen des Sonnenwinds können beim Durchgang durch die dünne Gasatmosphäre eines Kometen Elektronen einfangen und dabei unter anderem Röntgenstrahlung emittieren.

In der Teilchen-, Atom- und Kernphysik wird bei der Beteiligung von Photonen oder Teilchen häufig der Begriff Streuung verwendet. Bei inelastischer Streuung bleibt die kinetische Energie nicht vollständig erhalten, sondern kann beispielsweise in Anregungsenergie umgewandelt oder zum Aufbrechen von Bindungen verwendet werden. Ist ein Photon beteiligt, ändert sich im Allgemeinen seine Wellenlänge.