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Impulserhaltungssatz
Die Impulserhaltung gilt sowohl, wenn die kinetische Energie beim Stoß erhalten bleibt (elastischer Stoß), als auch dann, wenn dies nicht der Fall ist ( …
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Grundidee und Bedeutung
Der Impulserhaltungssatz, auch Impulserhaltung oder Impulssatz genannt, gehört zu den wichtigsten Erhaltungssätzen der Physik. Er besagt: In einem mechanisch abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls konstant. Mechanisch abgeschlossen bedeutet, dass das System nicht mit seiner Umgebung wechselwirkt.
Der Impuls ist eine gerichtete Größe, also ein Vektor. Der Gesamtimpuls eines Systems ergibt sich als Vektorsumme der Impulse aller beteiligten Körper. Der Satz gilt in der klassischen Mechanik, der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik.
Besonders wichtig ist die Impulserhaltung bei Stoßprozessen: Der Gesamtimpuls aller Stoßpartner ist vor und nach dem Stoß gleich. Das gilt sowohl für elastische Stöße, bei denen die kinetische Energie erhalten bleibt, als auch für unelastische Stöße, bei denen dies nicht der Fall ist. Impulserhaltung und Energieerhaltung sind voneinander unabhängige Aussagen.
Nach dem Noether-Theorem ist die Impulserhaltung eine unmittelbare Folge der Homogenität des Raumes. Damit ist gemeint, dass die physikalischen Gesetze nicht davon abhängen, an welchem Ort ein Vorgang stattfindet.
Herleitung mit den Newtonschen Axiomen
In der Newtonschen Mechanik folgt die Impulserhaltung unmittelbar aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom. Nach dem zweiten Newtonschen Axiom ist die zeitliche Änderung des Impulses p⃗ gleich der wirkenden äußeren Kraft F⃗:
p⃗̇ = F⃗.
Das dritte Newtonsche Axiom, „actio = reactio“, besagt, dass zu jeder Kraft eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Gegenkraft gehört. Innerhalb eines abgeschlossenen Systems heben sich diese Kräfte deshalb in der Vektorsumme auf. Wenn keine äußeren Kräfte wirken, gilt:
F⃗ = ∑ᵢ₌₁ⁿ F⃗ᵢ = ∑ᵢ₌₁ⁿ p⃗̇ᵢ = p⃗̇ = 0⃗.
Damit ändert sich der Gesamtimpuls nicht; p⃗ ist ein konstanter Vektor. Falls der Impuls nur von der Geschwindigkeit abhängt, bewegt sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Impulserhaltung ist daher gleichbedeutend mit der Aussage, dass sich der Schwerpunkt eines Systems ohne äußere Kraft mit konstanter Geschwindigkeit und unveränderter Richtung bewegt. Dies verallgemeinert das erste Newtonsche Axiom, das ursprünglich für einzelne Körper formuliert wurde.
Beschreibung im Lagrange-Formalismus
Im Lagrange-Formalismus wird die Bewegung eines Systems durch seine Lagrangefunktion L beschrieben. Für ein Teilchen der Masse m in einem Potential V(q) lautet sie:
L = ½m q̇² − V(q).
Dabei ist q eine generalisierte Koordinate, also eine zur Beschreibung des Systems geeignete Koordinate, und q̇ ihre zeitliche Änderung. Die Lagrange-Bewegungsgleichung ist
∂L/∂q − d/dt(∂L/∂q̇) = 0.
Nach Einsetzen der Lagrangefunktion ergibt sich
−∂V/∂q − d/dt(mq̇) = 0.
Hängt das Potential V nicht von q ab, ist ∂V/∂q = 0. Dann bleibt
d/dt(mq̇) = 0.
Die Größe mq̇ ist somit konstant. Wird q als Ortskoordinate gewählt, entspricht mq̇ dem Impuls; damit erhält man den Impulserhaltungssatz der Newtonschen Mechanik.
Raumhomogenität und Noether-Theorem
Das Noether-Theorem ordnet jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgröße zu. Die zur Impulserhaltung gehörende Symmetrie ist die Homogenität des Raumes oder Verschiebungsinvarianz: Ein Vorgang am Punkt A läuft unter denselben Bedingungen genauso ab, wenn er stattdessen an einem beliebigen Punkt B stattfindet. Der Raum besitzt bei B keine anderen physikalischen Eigenschaften als bei A.
Für ein System mit der Lagrangefunktion L ist die Wirkung durch S = ∫L dt gegeben. Bleibt diese Wirkung unter einer kontinuierlichen Transformation der Koordinaten und der Zeit unverändert, liefert das Noether-Theorem eine Erhaltungsgröße Q. Bei einer reinen räumlichen Verschiebung wird die Zeit nicht verändert.
Wegen der Homogenität des Raumes kann zu jeder Raumkoordinate eine räumlich und zeitlich konstante Verschiebung δ addiert werden, ohne dass sich die Lagrangefunktion ändert. Dies ist unabhängig in den drei Raumrichtungen x, y und z möglich. Für k = x, y, z entstehen daher drei Erhaltungsgrößen:
Qₖ = ∂L/∂q̇ₖ = pₖ.
Diese Größen sind die zu den Raumkoordinaten konjugierten Impulse. Konjugierter Impuls bezeichnet hier die Ableitung der Lagrangefunktion nach der zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeit. Ihre Erhaltung bedeutet
0 = dQₖ/dt = d/dt(∂L/∂q̇ₖ) = dpₖ/dt
für alle drei Raumrichtungen k = x, y, z. Somit ist der gesamte Impulsvektor erhalten.
Besonderheit im Kristallgitter
In einem idealen Kristallgitter besteht keine Symmetrie gegenüber jeder beliebigen Verschiebung. Nur die Verschiebung um einen Gittervektor führt wieder zu einer Anordnung, die vom ursprünglichen Gitter nicht unterscheidbar ist. Bei anderen Verschiebungen fallen die neuen Gitterpunkte nicht mit den ursprünglichen zusammen.
Deshalb gilt die Impulserhaltung im Kristall mit einer Einschränkung: Zum Impuls darf ein mit der reduzierten Planck-Konstante ℏ multiplizierter Gittervektor G⃗ des reziproken Gitters addiert werden:
p⃗_nachher = p⃗_vorher + ℏG⃗.
Das reziproke Gitter beschreibt die möglichen diskreten Impulsüberträge. Impuls kann daher nicht in beliebiger Menge an das Kristallgitter abgegeben werden, sondern nur in festgelegten Schritten. Ist der vorhandene Impuls für den kleinsten solchen Schritt zu gering, gilt wieder die Impulserhaltung wie im freien Raum.
Als Beispiel nennt der Artikel sichtbares Licht im Inneren eines Kristalls: Sein Impuls ist für den kleinsten Schritt zu klein, weshalb sichtbares Licht in Kristallen nicht gebeugt wird. Röntgenstrahlung besitzt dagegen einen höheren Impuls und kann gebeugt werden. Die Impulserhaltung unter Einbeziehung des reziproken Gittervektors ist in diesem Fall gleichbedeutend mit der Bragg-Gleichung.
Impulsbilanz in strömenden Fluiden
Bei einem strömenden Fluid stehen die in einen betrachteten Strömungsraum ein- und ausströmenden Impulsströme mit den von außen auf diesen Raum wirkenden Kräften im Gleichgewicht. Für jede Koordinatenrichtung gilt die Kräftebilanz
ρAc² + ∑F = 0.
Dabei ist ρ die Dichte des Fluids, A die durchströmte Querschnittsfläche und c die Strömungsgeschwindigkeit. Die Summe ∑F umfasst Impulskräfte, Druckkräfte, Wandkräfte, Massenkräfte und Reibungskräfte. Die Gleichung drückt aus, dass sich Impulsstrom und äußere Kräfte in jeder betrachteten Richtung ausgleichen.
