Sterntetraeder

Definition und Bedeutung

Das Sterntetraeder, auch Stella Octangula, Keplerstern oder Sternkörper zum Oktaeder genannt, ist ein achtstrahliger, nicht-konvexer vielflächiger Körper und gehört zu den nicht-konvexen Deltaedern. Es entsteht durch die Verschmelzung zweier punktsymmetrisch zueinander angeordneter regelmäßiger Tetraeder. Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier dreieckigen Flächen.

Trotz seiner Bezeichnung ist das Sterntetraeder kein Sternkörper, weil an seinen Ecken nicht überall gleich viele Flächen zusammentreffen. Es gilt als einfachstes reguläres zusammengesetztes Polyeder und als einfachstes nicht-konvexes gleichmäßiges Polyeder. Johannes Kepler benannte es 1609; Leonardo da Vinci stellte es bereits 1509 in Luca Paciolis „De Divina Proportione“ dar.

Geometrische Eigenschaften und Konstruktionen

Die äußeren Eckpunkte des Sterntetraeders liegen auf den Ecken eines Würfels und beschreiben diesen Würfel. Die Schnittmenge der beiden verschmolzenen Tetraeder ist ein Oktaeder. Die Kanten dieses Oktaeders bilden die Innenkanten des Sterntetraeders.

Das Sterntetraeder steht in Beziehung zu mehreren Fraktalkonstruktionen. Es ist die erste Stufe der konvexen Form des Sierpinski-Oktaeders. Aus den acht kleinen Tetraedern können erneut Sterntetraeder gebildet werden. Durch wiederholte Anwendung entsteht ein Fraktal, das sich schließlich der Form eines Hexaeders annähert.

Außerdem kann das Sterntetraeder als dreidimensionales Hexagramm verstanden werden. Ein Hexagramm ist eine zweidimensionale Figur aus zwei überlappenden, gleichseitigen Dreiecken, die punktsymmetrisch zueinander liegen. Entsprechend besteht das Sterntetraeder aus zwei punktsymmetrisch überlappenden regelmäßigen Tetraedern. Dieses Prinzip lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Eine weitere Deutung ist die als Iterationsschritt einer dreidimensionalen „Koch-Kurve“. Dabei werden an jede dreieckige Fläche einer größeren Figur kleinere Tetraeder angefügt. Der Iterationsschritt 0 ist ein einzelnes Tetraeder. Beim Iterationsschritt 1 werden vier kleinere Tetraeder an die Flächen des zentralen Tetraeders gesetzt; dadurch entsteht das Sterntetraeder.

Maße und Formeln

Für ein Sterntetraeder mit Kantenlänge a und b = a/2 gelten folgende Formeln:

• Volumen: V = (a³/8) · √2 = b³ · √2.
• Oberflächeninhalt: O = (3/2) · a² · √3 = 6 · b² · √3.
• Umkugelradius: rᵤ = (a/4) · √6 = (b/2) · √6.
• Kantenkugelradius: rₖ = (a/4) · √2 = (b/2) · √2.
• Inkugelradius: rᵢ = a/(2 · √6) = b/√6.
• Raumdiagonale: dᴿ = 2 · rᵤ = (a/2) · √6 = b · √6.
• Kantenabstand: d = 2 · rₖ = (a/2) · √2 ≈ 0,707 · a.
• Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen: V/Vᵤₖ = √3/(3 · π) ≈ 0,184.
• Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks: α = 60°.
• Winkel zwischen benachbarten Flächen: β = arccos(−1/3) ≈ 109° 28′ 16″.
• Winkel zwischen Kante und Fläche: γ = arctan(√2) ≈ 54° 44′ 8″.
• Tetraederwinkel: τ = arccos(−1/3) ≈ 109° 28′ 16″.
• Raumwinkel an den Ecken: Ω = arccos(23/27) ≈ 0,5512856 sr.
• Sphärizität: Ψ = ∛(π/(9√3)) ≈ 0,586.

Das Volumen setzt sich aus dem Volumen eines Oktaeders und den Volumina von acht aufgesetzten Tetraedern zusammen, deren Kantenlänge jeweils a/2 beträgt. Der Körper füllt den umgrenzenden Würfel mit dem Volumen (a³/4) · √2 = 2 · b³ · √2 zur Hälfte aus. Der Umkugelradius des Sterntetraeders ist gleich dem Umkugelradius eines einzelnen Tetraeders.

Darstellungen in der Kunst

M. C. Escher verwendete das Sterntetraeder als Motiv für das Bild „Doppelplanetoid“. Dabei stellt eines der beiden Tetraeder eine von Menschen bewohnte Burg dar, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene und von Dinosauriern bewohnte Welt zeigt.

Als weitere künstlerische Darstellungen werden Wandmalereien eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha sowie eine Darstellung in der Abtei Jovilliers in Stainville, Lothringen, genannt.