Magnetische Feldstärke

Grundidee und Einheit

Die magnetische Feldstärke \vec H, auch magnetische Erregung, ist eine vektorielle physikalische Größe. Sie ordnet jedem Raumpunkt Stärke und Richtung des Magnetfeldes zu, das durch magnetische Spannung erzeugt wird. Ihr Formelzeichen ist H; die SI-Einheit lautet Ampere pro Meter \mathrm{A\cdot m^{-1}}.

Sie steht mit der magnetischen Flussdichte \vec B und der Magnetisierung \vec M in Beziehung: \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M. Anschaulich beschreibt \vec H den durch geladene Ströme erzeugten Anteil von \vec B. Der weitere Anteil entsteht durch die Magnetisierung eines Materials, also durch magnetische Dipole. Im Vakuum gilt wegen \vec M=0: \vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}.

Zusammenhang mit Material und Strom

In linearer, homogener, isotroper und zeitinvarianter Materie gilt \vec B=\mu\vec H=\mu_0\vec H+\vec J. Dabei ist \mu die magnetische Permeabilität, also die magnetische Leitfähigkeit des Materials, und \vec J=\mu_0\vec M die magnetische Polarisation. Wird diese Polarisation ausschließlich durch \vec H hervorgerufen, gilt \vec J=\mu_0\chi_m\vec H, wobei \chi_m die magnetische Suszeptibilität bezeichnet. Daraus folgt \vec B=\mu_0(1+\chi_m)\vec H=\mu_0\mu_m\vec H=\mu\vec H. Der Permeabilitätstensor \mu wird in vielen Fällen als Skalar behandelt.

Die lokale Form des Durchflutungssatzes aus den Maxwellschen Gleichungen lautet \operatorname{rot}\vec H=\vec\jmath+\frac{\partial\vec D}{\partial t}. \vec\jmath ist die elektrische Stromdichte; \partial\vec D/\partial t ist die Dichte des Verschiebungsstroms. Im statischen Fall ohne zeitliche Änderung bleibt \operatorname{rot}\vec H=\vec\jmath. Die Wirbeldichte von \vec H entspricht dann der lokalen Leitungsstromdichte. Damit wird auch mathematisch ausgedrückt, dass magnetische Feldlinien keine Quellen oder Endpunkte haben, sondern geschlossen sind.

Wechselfelder und Bezeichnung

Bei harmonisch eingeschwungenen Feldern werden komplexe Vektorfelder \vec H^*, \vec J^* und \vec D^* verwendet; \mathrm j ist die imaginäre Einheit. Das Ampèresche Gesetz kann geschrieben werden als \operatorname{rot}\vec H^*=\vec J^*+\mathrm j\omega\vec D^*=\mathrm j\omega\left(\varepsilon^*-\frac{\kappa^*}{\omega}\mathrm j\right)\vec E^*. \varepsilon^*, die komplexe elektrische Permittivität, berücksichtigt elektrische Relaxation und dielektrische Verluste. \kappa^*, die komplexe Leitfähigkeit, beschreibt ohmsche Verluste und die Phasenverschiebung zwischen \vec E^* und \vec J^*. Diese Umformung gilt nicht bei einer eingeprägten elektrischen Feldstärke, etwa durch chemische Prozesse.

Mit weiteren Maxwellgleichungen ergibt sich die Helmholtz-Gleichung \Delta\vec H^*+\vec k^{*2}\vec H^*=0. \Delta ist der Laplace-Operator, \vec k^* der komplexe Wellenzahlvektor einer TEM-Welle. Die komplexe Größe \mu^* beschreibt magnetische Relaxation beziehungsweise Verluste durch periodische magnetische Umpolarisierung; dies ist in der Regel erst im Terahertz-Bereich relevant.

Die etablierte Bezeichnung „magnetische Feldstärke“ ist unsystematisch: Nach der Lorentzkraft \vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B) wäre \vec B, nicht \vec H, die zur elektrischen Feldstärke \vec E analoge Größe. „Magnetische Erregung“ ist daher weniger verwirrend, aber nicht allgemein durchgesetzt.

Felder von Leiter, Ring und Spule

Außerhalb eines geraden stromdurchflossenen Leiters ist H entlang einer kreisförmigen Feldlinie konstant. Im Abstand r, bei Stromstärke I und homogener Permeabilität, gilt H=\frac{I}{2\pi r}. Für I=50\,\mathrm A und r=5\,\mathrm{cm}=0{,}05\,\mathrm m ergibt sich H=159{,}15\,\mathrm{A/m}.

Bei einer einzelnen kreisförmigen Leiterschleife mit Radius r und Strom I beträgt die Feldstärke auf der Spulenachse im Abstand x vom Mittelpunkt H=\frac{I r^2}{2(x^2+r^2)^{3/2}}.

Für eine Zylinderspule mit Länge l, Durchmesser D, N Windungen und Strom I gilt im Zentrum H=\frac{I N}{\sqrt{l^2+D^2}}. Bei einer langgestreckten Spule, deren Länge viel größer als ihr Durchmesser ist, vereinfacht sich dies zu H=\frac{I N}{l}=\frac{U_m}{l}=\frac{\Theta}{l}. I\cdot N heißt Amperewindungszahl, magnetische Spannung U_m oder magnetische Durchflutung \Theta. An den Spulenenden ist H genau halb so groß wie in der Mitte. Im Innenraum ist das Feld annähernd homogen; deutliche Abweichungen treten erst an den Enden auf.

Helmholtz-Spulenpaar

Eine Helmholtz-Spule besteht aus zwei kurzen, runden Spulen gleicher Größe und gleicher Windungszahl. Sie werden in gleicher Umlaufrichtung durchströmt und stehen im Abstand ihres Radius voneinander. Zwischen ihnen entsteht ein weitgehend homogenes Magnetfeld.

In der Mitte lautet die Feldstärke H=\frac{8NI}{R\sqrt{125}}. Dabei ist N die Windungszahl je Spule, I die Stromstärke und R der Spulenradius.