Spezielle Funktion

Bedeutung und Begriffsbestimmung

Spezielle Funktionen sind bestimmte Funktionen der Analysis, die in der reinen Mathematik und in Anwendungen, zum Beispiel in der mathematischen Physik, eine zentrale Rolle spielen. Der Begriff ist nicht präzise definiert.

Pragmatisch versteht man darunter meist Funktionen einer Variablen, die keine elementaren Funktionen sind und wegen ihrer großen Bedeutung für die Mathematik oder ihre Anwendungen intensiv erforscht und in der Fachliteratur behandelt wurden. Zu den elementaren Funktionen zählen beispielsweise algebraische Funktionen, trigonometrische Funktionen, die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion sowie Funktionen, die durch algebraische Operationen aus diesen gebildet werden können.

Viele spezielle Funktionen sind transzendent, also nicht elementar algebraisch darstellbar. Deshalb werden sie auch als höhere transzendente Funktionen bezeichnet.

Eigenschaften und Klassifikation

Ein großer Teil der speziellen Funktionen ist holomorph oder meromorph und kann daher in Reihen entwickelt werden. Zwischen vielen speziellen Funktionen bestehen enge Beziehungen. Die Klassifikation der Funktionen und ihrer Beziehungen zueinander ist deshalb selbst ein Gegenstand der Forschung.

Seit dem 19. Jahrhundert wurden verschiedene Ansätze entwickelt, wichtige spezielle Funktionen als Spezialfälle geschlossener darstellbarer Funktionenscharen zu beschreiben. Zu diesen übergeordneten Funktionenscharen gehören unter anderem die Meijersche G-Funktion, die Foxsche H-Funktion und die hypergeometrische Funktion.

Wichtige Gruppen und Beispiele

Zu den speziellen Funktionen, die Verallgemeinerungen der Fakultät beziehungsweise der Gammafunktion sind, gehören:

• Gammafunktion
• Eulersche Betafunktion
• Pochhammer-Symbol
• Polygamma-Funktionen, darunter Digammafunktion und Trigammafunktion
• Barnes’sche G-Funktion

Aus der hypergeometrischen Funktion ergeben sich für spezielle Parameter unter anderem Legendre-Polynome, Hermitesche Polynome, Laguerre-Polynome und Bessel-Funktionen.

Als verallgemeinerte Logarithmen werden Polylogarithmen, die Nielsen-Funktion, Clausen-Funktionen und die Lambertsche W-Funktion verwendet. Weitere wichtige Beispiele sind Zeta-Funktionen, insbesondere die Riemannsche Zetafunktion und die Riemannsche Xi-Funktion, außerdem elliptische Integral-Funktionen, die Dirichletsche Etafunktion, die Dirichletsche Lambda-Funktion, die Dirichletsche Beta-Funktion und die Airy-Funktion.

In der mehrdimensionalen Analysis sind spezielle Funktionen in mehreren, in der Regel komplexen Variablen gebräuchlich. Dazu zählen verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen und Appellsche Funktionen. Für die theoretische Physik werden außerdem Clebsch-Gordan-Symbole und Wigner-nj-Symbole verwendet.

Anwendungsgebiete und Bedeutung für Berechnungen

Viele spezielle Funktionen sind Lösungen von Differentialgleichungen, die in wichtigen Anwendungssituationen auftreten. Dadurch dienen sie dazu, mathematische und physikalische Probleme systematisch zu beschreiben und zu lösen.

Sie bilden außerdem das Rückgrat vieler Berechnungen mit Computeralgebrasystemen wie Mathematica und Maple. Mit Computeralgebra und symbolischer Mathematik werden in jüngerer Zeit auch die Eigenschaften spezieller Funktionen untersucht. In der analytischen Zahlentheorie besitzen sie eine besondere Bedeutung.