Kurvenschar

Grundidee

Eine Kurvenschar, auch Funktionenschar, Funktionsschar oder Parameterfunktion, ist eine Menge verschiedener Kurven, deren Abbildungsvorschriften sich in mindestens einem Parameter unterscheiden. Ein Parameter ist dabei eine veränderliche Größe, die festlegt, welche konkrete Kurve aus der Schar betrachtet wird.

Kurvenscharen sind wichtig, weil man mit ihnen nicht nur eine einzelne Kurve beschreibt, sondern viele zusammengehörige Kurven nach einem gemeinsamen Bauprinzip. So kann man untersuchen, wie sich Form, Lage oder besondere Punkte einer Kurve verändern, wenn der Parameter geändert wird.

Definition

Eine Schar kann aus Punkten auf einer Kurve, aus Kurven auf einer Fläche oder aus Flächen im Raum bestehen. Diese Objekte werden jeweils durch eine Gleichung oder durch ein System von Gleichungen mit veränderlichen Parametern beschrieben.

Nach einer anderen Definition entsteht eine Kurvenschar aus dem Graphen einer Funktion, wenn ein freier Parameter dieser Funktion in einer Parameterdarstellung variiert wird. Zur Veranschaulichung von Funktionsscharen eignen sich besonders dynamische-Geometrie-Systeme.

Wichtige Sonderfälle

Ein Büschel ist ein Sonderfall einer Kurvenschar und bezeichnet eine einparametrige Schar. Ein Bündel ist eine Schar mit einem Punkt, der allen Funktionen gemeinsam ist.

Bestehen alle Schaubilder der Funktionsschar aus Geraden, spricht man von einer Geradenschar. Sind diese Geraden zusätzlich parallel, nennt man sie Parallelenschar. Schneiden sich alle beteiligten Geraden in einem Punkt, handelt es sich um ein Geradenbündel. Schneiden sich alle beteiligten Geraden in einem Punkt und liegen zugleich in einer Ebene, handelt es sich um ein Geradenbüschel.

Bestehen alle Kurven der Schar aus Parabeln, nennt man die Schar eine Parabelschar.

Ortskurven

Für bestimmte Punkte einer Kurvenschar lässt sich oft eine Ortskurve bestimmen. Eine Ortskurve ist eine neue Kurve, die beschreibt, wo diese besonderen Punkte liegen, wenn man alle Kurven der Schar betrachtet.

Beispielsweise kann man bei einer Funktionsschar die Wendepunkte der einzelnen Kurven untersuchen. Die Ortskurve gibt dann die Lage dieser Wendepunkte in Abhängigkeit vom Parameter der Schar an.

Typische Beispiele

Zur Funktion f_p(x)=p gehört eine Kurvenschar, deren Kurven alle parallel zur x-Achse verlaufen. Es handelt sich also um Geraden. Der Parameter dieser Kurvenschar ist p.

Zur Funktion f_a(x)=ax^2, a≠0, gehört eine Schar von Parabeln. Alle diese Parabeln gehen durch den Koordinatenursprung. Der Parameter ist a.

Zur Relation r^2=x^2+y^2 ⇔ r=√(x^2+y^2) gehört eine Schar konzentrischer Kreise. Konzentrisch bedeutet, dass die Kreise denselben Mittelpunkt haben. Der Parameter ist hier r.