Soliton

Begriff und Funktionsweise

Ein Soliton ist ein Wellenpaket, das sich in einem zugleich dispersiven und nichtlinearen Medium ohne Änderung seiner Form ausbreitet. Beim Zusammenstoß mit gleichartigen Wellenpaketen findet keine Wechselwirkung statt. Wird dagegen Energie ausgetauscht, spricht man von einer solitären Welle.

Ein Wellenpaket besteht aus harmonischen Wellen verschiedener Frequenzen. Bewegen sich diese Frequenzanteile unterschiedlich schnell, verändert sich die Form des Pakets; dies heißt Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Nichtlineare Effekte können die Frequenzanteile ineinander umwandeln. Werden schnellere Komponenten in langsamere und langsamere in schnellere umgewandelt, kann ein dynamisches Gleichgewicht entstehen: Die Dispersion wird ausgeglichen, und das Soliton bleibt formstabil.

Als theoretische Anwendung wird außerdem ein mathematisches „Schlupfloch“ in der allgemeinen Relativitätstheorie genannt: Solitonen könnten eine Warp-Blase mit positiver Energie ermöglichen. Die Solitonen würden sich durch die Raumzeit bewegen, während die Blase den Raum selbst überlichtschnell bewegen könnte.

Entdeckung und Entwicklung

John Scott Russell beschrieb das Phänomen 1834 erstmals. Er folgte in einem engen schottischen Kanal mehrere Kilometer lang einer etwa 10 Meter langen und etwa einen halben Meter hohen Wasserwelle, deren Form sich nur wenig änderte. Weitere Versuche in einem Tank zeigten:

• Die Wellen können sich über lange Strecken stabil fortsetzen.
• Ihre Geschwindigkeit hängt von ihrer Größe und von der Wassertiefe ab.
• Sie vereinigen sich nicht; eine größere Welle kann eine kleinere überholen.
• Ist eine Welle für die Wassertiefe zu groß, teilt sie sich in eine große und eine kleine Welle.

1895 wurde das Phänomen mit der Korteweg-de-Vries-Gleichung theoretisch erklärt. Seine größere Bedeutung wurde jedoch erst in den 1960er-Jahren erkannt. Optische Solitonen in Lichtwellenleitern wurden 1973 theoretisch vorhergesagt und 1980 erstmals experimentell nachgewiesen.

Anwendungen und Beispiele

In einem Lichtwellenleiter werden gewöhnliche Lichtimpulse geringer Intensität durch Dispersion mit der Zeit breiter. Dadurch können sich benachbarte Signale überlagern; diese Intersymbolinterferenz begrenzt die Übertragungsstrecke und die Symbolrate. Ein optisches Soliton behält dagegen seine Form. Theoretisch erlaubt dies Nachrichtenübertragung über beliebig große Entfernungen und bei sehr kurzen Impulsen hohe Datenraten.

In herkömmlichen Glasfasern können Solitonen im Bereich anomaler Dispersion erzeugt werden, also bei Wellenlängen λ > 1,3 µm. Dort ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei höheren Frequenzen größer. Erforderlich sind nur wenige Milliwatt Leistung. Bei Pulsdauern von einigen Pikosekunden sind über weite Strecken Übertragungsraten im Bereich von Terabits pro Sekunde möglich, also 10¹² bit/s.

Reale Medien besitzen jedoch Dämpfungs- und Streuverluste. Der Energieverlust zerstört das Gleichgewicht zwischen Dispersion und Nichtlinearität, sodass sich das Soliton auflöst. In Datenübertragungssystemen müssen Solitonen daher ungefähr alle 20 km nachverstärkt werden. In speziellen Glasfaserringen wurden sie bereits über 180 Millionen Kilometer ohne merkliche Pulsverbreiterung übertragen. Durch Modenkopplung erzeugte Lasersolitonen sind eine Voraussetzung für den Betrieb eines Frequenzkamms; ein gespeicherter Puls zerfließt dabei auch nach Stunden nicht.

Solitonartige Anregungen treten außerdem neben gewöhnlichen Spinwellen in niederdimensionalen Magneten auf. Weitere genannte Beispiele sind die Pororoca auf dem Amazonas, die Morning Glory Cloud, die Erregungsleitung in Nervenzellen und Skyrmionen.

Mathematische Beschreibung

Solitonenlösungen kommen unter anderem in der Korteweg-de-Vries-Gleichung, der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung, der Toda-Kette, der Benjamin-Ono-Gleichung, der Gross-Pitaevskii-Gleichung und der Sinus-Gordon-Gleichung vor. Die ursprünglich aus der Plasmaphysik stammende Kadomtsev-Petviashvili-Gleichung beschreibt Solitonen in zwei Raumdimensionen. Weitere Fälle sind die modifizierte Korteweg-de-Vries-Gleichung und ganze daraus abgeleitete Gleichungshierarchien. Viele dieser Gleichungen sind durch die inverse Streutransformation exakt lösbar; weitere Verfahren sind die direkte Methode von Ryōgo Hirota und Bäcklund-Transformationen.

Die Sinus-Gordon-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

φ_tt − φ_xx + sin(φ) = 0.

Die Indizes bezeichnen partielle Ableitungen nach Zeit t beziehungsweise Ort x. Anschaulich kann die Gleichung eine eindimensionale Kette transversal schwingender Pendel beschreiben. Federn koppeln dabei die Drehwinkel φ benachbarter Pendel. Zu ihren Lösungen gehören zwei entgegengesetzt aufgebaute Solitonen, Kink und Antikink. Für kleine Winkel φ beschreibt sie außerdem fortschreitende Wellen. Ein solches Soliton kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Die Winkelunterschiede innerhalb des Solitons ergeben insgesamt einen Vollkreis. Es besitzt eine feste Größe, kann nur als Ganzes existieren und reagiert auf die Störung eines einzelnen Pendels elastisch. Die Angaben dieses Artikelabschnitts sind laut Quellenhinweis nicht hinreichend belegt.

FDTD-Simulationsbeispiel

Die Finite-Differenzen-Methode im Zeitbereich (FDTD) simuliert Felder mit diskreten Zeit- und Raumschritten. Der Raum wird dazu in ein rechtwinkliges Gitter aus kleinen Zellen zerlegt. Differenzengleichungen berechnen die Nahwirkung zwischen direkten Nachbarn. Solche Rechnungen werden häufig auf Grafikprozessoren ausgeführt. Zwei zyklische Aktualisierungsschritte mit einer Art Doppelpuffertechnik können die Ausbreitung sinusförmiger Wellen darstellen:

SELF(VAR1) += RIGHT(VAR2) − LEFT(VAR2) SELF(VAR2) += RIGHT(VAR1) − LEFT(VAR1)

Das beschriebene Video verwendet einen eindimensionalen FDTD-Raum für die Sinus-Gordon-Gleichung. Eine zweite Nachbarschaftsbeziehung erzeugt Druck-Geschwindigkeitswellen:

p_t = v_x; v_t = p_x.

Beide Systeme sind gekoppelt: Das Soliton sendet p aus, während v zur Winkelgeschwindigkeit addiert wird. Dargestellt werden cos(φ), sin(φ), φ_t, p und v. Anfangs sind ein Kink und ein entgegengesetzter Antikink vorhanden. Weil diese Anordnung keine stationäre Lösung der Gleichung ist, wird überschüssige Energie als Welle abgestrahlt. Danach senden beide Solitonen ein p/v-Feld aus. Erreicht dieses Feld das jeweils andere Soliton, setzt es sich in Bewegung. An den nicht korrekt terminierten Raumenden werden Wellen reflektiert. Schließlich treffen sich die beiden Solitonen in der Mitte und werden durch Annihilation zerstört; ihre Energie bleibt als Wellen zurück.

Das Video soll die Zusammenhänge zwischen Teilchen, Kraft und Welle modellieren. Die speziellen Solitonen zeigen dabei Eigenschaften wie Antiteilchen, Bewegung, Energie, Elastizität, Größe und Stetigkeit. Der gesamte Simulationsabschnitt ist im Artikel als verbesserungsbedürftig gekennzeichnet; insbesondere bleibt dort die Nutzung des Beispiels unklar.

Modell für Nervenimpulse

Die Solitonenhypothese der Neurowissenschaften ist ein Modell für Nervenimpulse. Auf Grundlage einer thermodynamischen Theorie der Nervenimpulsausbreitung soll sie erklären, wie Aktionspotenziale ausgelöst und entlang von Axonen weitergeleitet werden.