Sitzzuteilungsverfahren

Grundidee und Grundproblem

Sitzzuteilungsverfahren sind Rechenverfahren, mit denen bei Verhältniswahlen eine festgelegte Zahl von Sitzen im Verhältnis zu den Stimmenzahlen auf Parteien verteilt wird. Allgemeiner dienen sie der proportionalen Repräsentation: Akteure mit bestimmten Gewichten erhalten eine begrenzte Anzahl von Einheiten, etwa Parlamentssitze, Prozentpunkte oder Promillpunkte, proportional zu diesen Gewichten. Dasselbe Grundproblem entsteht auch, wenn Gesamtsitze auf Wahldistrikte nach Bevölkerungsstärke verteilt oder Prozentwerte aus Messwerten berechnet werden.

Das zentrale Spannungsverhältnis besteht zwischen Proportionalität und Ganzzahligkeit. Die Hausgröße, also die Gesamtzahl der Sitze, wird mit h bezeichnet. Die Stimmenzahlen der Parteien sind v1 bis vℓ, die Gesamtstimmenzahl ist v = v1 + ... + vℓ. Rein proportional hätte Partei j den Idealanspruch (vj / v) · h. Dieser Wert ist aber oft keine ganze Zahl. Da es in Parlamenten keine Bruchteilsmandate gibt, muss gerundet werden, ohne dass die Summe der Sitze von h abweicht. In allgemeiner Form wird die Sitzzahl einer Partei als xj = [vj / D] beschrieben: Die Stimmenzahl wird durch einen Divisor D geteilt und nach einer Rundungsregel auf eine ganze Zahl gebracht.

In der Praxis dominieren zwei Verfahrensklassen. Divisorverfahren verwenden eine feste Rundungsregel und verändern den Divisor so lange, bis genau h Sitze vergeben sind. Quotenverfahren geben den Divisor als Quote fest vor und steuern die Rundung oder den Restausgleich so, dass die Hausgröße erreicht wird. Daneben gibt es weitere Verfahren und Varianten mit Zusatzbedingungen.

Wichtige klassische Verfahren

Im deutschsprachigen Raum haben drei Verfahren besondere Bedeutung. Das Sainte-Laguë-Verfahren heißt auch Webster-Methode oder Divisorverfahren mit Standardrundung. Das D’Hondt-Verfahren heißt auch Hagenbach-Bischoff-Verfahren, Jefferson-Methode oder Divisorverfahren mit Abrundung. Das Hare/Niemeyer-Verfahren heißt auch Hamilton-Methode oder Hare-Quotenverfahren mit Ausgleich nach größten Resten.

In Deutschland wurde bei Bundestagswahlen zunächst ab 1949 das D’Hondt-Verfahren verwendet. Es wurde 1985 durch das Hare/Niemeyer-Verfahren ersetzt, das wiederum 2008 vom Sainte-Laguë-Verfahren abgelöst wurde.

Der Artikel erläutert die Verfahren besonders am Beispiel der Gemeinderatswahl in Mallersdorf-Pfaffenberg vom 15. März 2020. Dort waren 20 Sitze auf die Parteien CSU, FW, SPD, ÖDP und GRÜNE zu verteilen. Die Stimmenzahlen lauteten 28.206, 18.251, 10.000, 9.229 und 1.487. Je nach Verfahren ergaben sich unterschiedliche Sitzzahlen; außerdem kam es zu einem Rundungsstreit, der zeigt, dass kleine Unterschiede bei Dezimalstellen entscheidend sein können.

Divisorverfahren

Beim Divisorverfahren mit Standardrundung, also Sainte-Laguë, wird ein Quotient abgerundet, wenn sein Nachkommateil kleiner als 0,5 ist, und aufgerundet, wenn er größer als 0,5 ist. Im Beispiel Mallersdorf-Pfaffenberg führt ein Divisor von 3318,36 zur Zuteilung 8 : 6 : 3 : 3 : 0 für CSU, FW, SPD, ÖDP und GRÜNE. Der Artikel beschreibt dafür mehrere Rechenwege: Diskrepanzabbau, ein Höchstzahlenschema mit Teilern 0,5, 1,5, 2,5 usw. und ein äquivalentes Höchstzahlenschema mit Teilern 1, 3, 5 usw.

Der Diskrepanzabbau beginnt mit einem Startdivisor, im Beispiel der Hare-Quote 67.173 / 20 = 3358,65. Damit würden zunächst nur 19 Sitze verteilt. Der Divisor wird deshalb gesenkt, bis der fehlende Sitz vergeben wird. Dabei entsteht nicht nur ein einzelner zulässiger Divisor, sondern ein Divisorbereich. Ein daraus ausgewählter gut zitierbarer Wert heißt Zitierdivisor.

Beim Höchstzahlenschema werden Vergleichszahlen gebildet. Die höchsten Vergleichszahlen erhalten die Sitze. In Mallersdorf-Pfaffenberg schien bei Verwendung der Teiler 1, 3, 5 usw. ein Gleichstand zwischen CSU und FW beim letzten Sitz vorzuliegen, weil beide gerundet 1659,18 erreichten. Genauere Dezimalstellen zeigten aber, dass FW mit 1659,182 vor CSU mit 1659,176 lag. Der zwanzigste Sitz ging daher an die Freien Wähler. Der zunächst vertretene Gleichstand beruhte auf zu grober Rundung.

Beim Divisorverfahren mit Abrundung, also D’Hondt, wird jeder Quotient zur darunterliegenden Ganzzahl abgerundet. Im Beispiel ergibt sich mit dem Zitierdivisor 3060 die Zuteilung 9 : 5 : 3 : 3 : 0. Das übliche Höchstzahlenschema verwendet die Teiler 1, 2, 3 usw. Dieses Verfahren begünstigt tendenziell stärkere Parteien stärker als Sainte-Laguë.

Allgemeine Divisorverfahren lassen sich durch Sprungstellen s(n) beschreiben. Sie legen in jedem Intervall fest, ab welchem Punkt aufgerundet wird. Bei Sainte-Laguë liegen die Sprungstellen bei s(n) = n - 1/2, bei D’Hondt bei s(n) = n. Das Adams-Verfahren ist der andere Grenzfall mit Aufrundung, s(n) = n - 1; dabei erhält auch der kleinste Teilnehmer mindestens einen Sitz. Weitere wichtige Methoden sind Hill/Huntington mit geometrischer Rundung und Dean mit harmonischer Rundung. Hill/Huntington ist seit 1941 für die Verteilung der 435 Sitze des US-Repräsentantenhauses auf die Staaten vorgeschrieben.

Quotenverfahren und Paradoxien

Quotenverfahren bestehen aus Hauptzuteilung und Restausgleich. In der Hauptzuteilung wird eine feste Quote verwendet; für jedes volle Erreichen der Quote erhält eine Partei einen Sitz. Wenn dadurch erst m Sitze vergeben sind, bleiben h - m Restsitze, die durch ein Ausgleichsverfahren verteilt werden.

Das Hare-Quotenverfahren mit Ausgleich nach größten Resten verwendet die Hare-Quote, also Gesamtstimmen geteilt durch Gesamtsitze. In Mallersdorf-Pfaffenberg beträgt sie 67.173 / 20 = 3358,65. Die Hauptzuteilung vergibt 17 Sitze, drei Restsitze gehen an die Parteien mit den größten Bruchteilsresten. Das Ergebnis ist 8 : 5 : 3 : 3 : 1. Im Beispiel erhalten SPD, ÖDP und GRÜNE die Restsitze; die Rundungsschwelle liegt bei etwa ,44.

Das Hare-Verfahren erfüllt immer die Quotenbedingung: Jede Partei erhält entweder den abgerundeten oder den aufgerundeten Idealanspruch. Divisorverfahren erfüllen diese Bedingung nicht immer. Sainte-Laguë erfüllt sie bei zwei oder drei Parteien stets, bei mehr Parteien aber nicht in jedem Fall. D’Hondt kann den aufgerundeten Idealanspruch überschreiten, Adams kann den abgerundeten Idealanspruch unterschreiten. Nach dem Unmöglichkeitssatz von Balinski und Young gibt es kein Verfahren, das immer die Quotenbedingung erfüllt und zugleich stimmenzuwachsmonoton ist.

Quotenverfahren haben außerdem wichtige Strukturprobleme: Sie sind nicht kohärent, nicht hausgrößenmonoton und nicht stimmenzuwachsmonoton. Dadurch entstehen sogenannte Paradoxien. Beim Parteienzuwachs-Paradoxon kann sich die Verteilung in einem Teilsystem ändern, wenn eine weitere Partei hinzukommt. Beim Hausgrößenzuwachs-Paradoxon kann eine Partei trotz mehr verfügbarer Sitze einen Sitz verlieren; dieser Effekt ist als Alabama-Paradoxon bekannt. Beim Stimmenzuwachs-Paradoxon kann eine wachsende Partei einen Sitz an eine schrumpfende Partei verlieren.

Kriterien zur Bewertung

Viele Eigenschaften dienen dazu, Zuteilungsverfahren zu beurteilen. Zu den Grundeigenschaften gehören Anonymität, Balanciertheit, Konkordanz, Homogenität und Exaktheit. Anonymität bedeutet, dass Namen oder Reihenfolge der Parteien keine Rolle spielen. Balanciertheit verlangt, dass gleich starke Parteien sich höchstens um einen Sitz unterscheiden. Konkordanz bedeutet, dass eine stärkere Partei mindestens so viele Sitze erhält wie eine schwächere. Homogenität heißt, dass eine Skalierung der Stimmenzahlen die Sitzzuteilung nicht ändert. Exaktheit liegt vor, wenn ganzzahlige Idealansprüche genau als Sitzzahlen herauskommen.

Kohärenz betrifft das Verhältnis von Gesamt- und Teilsystemen. Alle Divisorverfahren sind kohärent. Kohärenz zieht Hausgrößenmonotonie und Stimmenzuwachsmonotonie nach sich. Hausgrößenmonotonie bedeutet, dass niemand Sitze verliert, wenn die Hausgröße wächst. Stimmenzuwachsmonotonie bedeutet, dass eine stärker wachsende Partei keinen Sitz an eine schwächer wachsende verliert.

Die natürliche Sperrklausel ist der kleinste Stimmenanteil, ab dem eine Partei sicher mindestens einen Sitz erhält. Sie hängt vom Verfahren, der Hausgröße h und der Parteienzahl ℓ ab. Für Sainte-Laguë lautet sie (1/2) / (h + 1 - ℓ/2), für das Quotenverfahren mit größten Resten (1 - 1/ℓ) / h, für D’Hondt 1 / (h + 1). Im Beispiel Mallersdorf-Pfaffenberg sind das 2,7, 4 und 4,8 Prozent.

Ein Verfahren heißt unverzerrt, wenn positive und negative Abweichungen vom Idealanspruch langfristig im Durchschnitt Null ergeben. Als unverzerrt gelten Sainte-Laguë und Hare mit größten Resten. D’Hondt ist verzerrt zugunsten stärkerer Parteien. Die Verzerrungsformel für die k-tstärkste Partei lautet 1/2 · (1/k + ... + 1/ℓ - 1). Sie zeigt: Stärkere Parteien profitieren, schwächere werden benachteiligt.

Bei Gütekriterien unterscheidet der Artikel globale Maßzahlen und lokale Paarvergleiche. Für Wählerstimmen steht die Erfolgswertgleichheit im Mittelpunkt: Alle Wähler sollen mit ihrer Stimme gleichen Einfluss auf das Wahlergebnis haben. Das Divisorverfahren mit Standardrundung minimiert das entsprechende Ungleichheitsmaß und erzeugt erfolgswertstabile Sitzzuteilungen. Für gleiche Vertretungsgewichte der Mandate ist das geometrische Rundungsverfahren maßgeblich; für lokale Vertretungswertstabilität das harmonische Rundungsverfahren. Aus Parteisicht minimiert das Hare-Quotenverfahren mit größten Resten die Abweichung zwischen Sitzzahl und Idealanspruch.

Varianten und Sonderfälle

In der Praxis werden Divisor- und Quotenverfahren oft durch Zusatzbedingungen verändert. Wichtig sind Minimums- und Maximumsbedingungen. Beim Bundestag ist etwa jeder Landesliste einer Partei mindestens die Zahl ihrer Direktmandate in diesem Land sicher. In den USA erhält jeder Gliedstaat mindestens einen der 435 Sitze des Repräsentantenhauses. Im Europäischen Parlament stehen jedem Mitgliedstaat mindestens sechs und höchstens 96 Sitze zu; insgesamt sind es 705 Sitze.

Divisorverfahren lassen sich relativ einfach an solche Schranken anpassen: Liegt der Quotient unter einer Untergrenze, wird auf diese aufgerundet; liegt er über einer Obergrenze, wird auf diese abgerundet. Bei Quotenverfahren sind solche Bedingungen schwieriger einzubauen, weil mehrere Wege möglich sind und verschiedene Ergebnisse entstehen können.

Eine Mehrheitsklausel soll sichern, dass eine Partei mit absoluter Mehrheit der zuteilungsberechtigten Stimmen auch eine absolute Mehrheit der Sitze erhält. Keines der gängigen Verfahren erfüllt diese Bedingung allgemein; D’Hondt erfüllt sie nur bei ungerader Hausgröße sicher. Häufig wird die Hausgröße durch Zusatzsitze erhöht, bis die Mehrheit gesichert ist. Für Hare mit größten Resten gibt es auch eine Umverteilungsklausel, die Horst F. Niemeyer propagierte.

Beim Doppelproporz wird ein Wahlgebiet in Distrikte geteilt. Zuerst werden in der Oberzuteilung die Gesamtsitze nach den Stimmen im gesamten Wahlgebiet auf die Parteien verteilt. In der Unterzuteilung müssen zugleich die Parteisummen aus der Oberzuteilung und die vorher festgelegten Sitzsummen der Distrikte eingehalten werden. Dazu verwendet man Partei- und Distriktdivisoren.

Automatische Verfahren unterscheiden sich dadurch, dass Zuteilungsschlüssel und Rundungsregel feststehen, die Hausgröße aber beweglich ist. Condorcet schlug 1793 ein Verfahren mit einem Deputierten pro 50.000 Seelen und einem weiteren bei einem Rest über 20.000 vor. Die Wahl zum Weimarer Reichstag nutzte den Schlüssel 60.000 mit Standardrundung; dadurch schwankte die Reichstagsgröße von 459 Sitzen im Jahr 1920 bis 647 Sitzen im Jahr 1933.