Monotone Abbildung

Grundidee und Definition

Eine monotone Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen. Eine Halbordnung ist eine Ordnung, in der nicht jedes Paar von Elementen miteinander vergleichbar sein muss. Monoton bedeutet: Die Ordnung von Elementen der Definitionsmenge erlaubt einen Schluss auf die Ordnung ihrer Bilder in der Zielmenge.

Für halbgeordnete Mengen (G,\leq_G) und (H,\leq_H) heißt \phi:G\to H isoton, ordnungserhaltend oder Ordnungshomomorphismus, wenn für alle a,b\in G gilt: a\leq_G b\Rightarrow\phi(a)\leq_H\phi(b). Die Reihenfolge bleibt also erhalten.

Antiton oder ordnungsumkehrend heißt \phi, wenn a\leq_G b\Rightarrow\phi(b)\leq_H\phi(a) gilt. Dann wird die Reihenfolge umgedreht. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist.

Bei definierten strikten Ordnungen <_G und <_H heißt \phi strikt isoton, falls a<_G b\Rightarrow\phi(a)<_H\phi(b), und strikt antiton, falls a<_G b\Rightarrow\phi(b)<_H\phi(a). Strikt monoton bedeutet strikt isoton oder strikt antiton.

Folgen, Funktionen und Maße

Monotone Abbildungen umfassen mehr als reelle Funktionen:

• Die Abbildung \psi:(\mathbb N,\leq)\to(\mathbb R,\leq) mit \psi(i)=a_i ist genau dann monoton, wenn (a_i)_{i\in\mathbb N} eine monotone Folge ist.
• Für eine Menge M ist ihre Potenzmenge \mathcal P(M) durch die Teilmengenbeziehung \subset geordnet. \psi(i)=A_i ist genau dann monoton, wenn (A_i)_{i\in\mathbb N} eine monotone Mengenfolge ist.
• Für reellwertige Funktionen auf einem Definitionsbereich D gilt f_1\leq_f f_2\iff f_1(x)\leq f_2(x) für alle x\in D. Dann entspricht eine monotone Abbildung \psi(i)=f_i einer monotonen Funktionenfolge.

Die monotonen Abbildungen von (\mathbb R,\leq) nach (\mathbb R,\leq) sind genau die monotonen reellen Funktionen. Bei durch \preccurlyeq_K definierten Ordnungen auf \mathbb R^n erhält man K-monotone Funktionen. Abbildungen von symmetrischen reellen Matrizen S^n, geordnet durch die Loewner-Halbordnung, nach (\mathbb R,\leq) heißen matrix-monotone Funktionen.

Maße auf einer \sigma-Algebra \mathcal A über \Omega sind monotone Abbildungen (\mathcal A,\subset)\to([0,\infty],\leq). Äußere Maße sind entsprechend monotone Abbildungen (\mathcal P(\Omega),\subset)\to([0,\infty],\leq).

Zusammensetzung und Isomorphismen

Eine isotone Abbildung ist ein Ordnungs-Homomorphismus, eine antitone ein Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, heißt Ordnungs-Isomorphismus. Eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser heißt Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Bijektivität allein reicht nicht aus: Für G=\{a,b,c\} mit a\leq b und a\leq c, sowie H=\{a,b,c\} mit a\preceq b\preceq c, ist die identische Abbildung \phi(a)=a,\phi(b)=b,\phi(c)=c isoton. Ihre Inverse ist aber nicht isoton, weil aus b\preceq c nicht b\leq c folgt. Deshalb muss die passende Eigenschaft der Inversen bei Iso- und Antiisomorphismen ausdrücklich verlangt werden.

Die Hintereinanderausführung zweier isotoner Abbildungen ist wieder isoton; auch die identische Abbildung ist isoton. Daher bilden isotone Selbstabbildungen mit der Hintereinanderausführung ein Monoid, das Endomorphismenmonoid. Bijektive isotone Selbstabbildungen mit isotoner Inverser bilden eine Gruppe, die Automorphismengruppe. Zwei antitone Abbildungen hintereinander ergeben dagegen eine isotone Abbildung. Die Zusammensetzung einer isotonen und einer antitonen Abbildung ist, unabhängig von der Reihenfolge, antiton.

Ordnungen reflektieren und einbetten

Eine Abbildung \phi:G\to H zwischen (G,\leq) und (H,\preceq) heißt ordnungsreflektierend, wenn für alle a,b\in G gilt: a\leq b\Leftarrow\phi(a)\preceq\phi(b). Sie ist stets injektiv.

Eine Ordnungseinbettung ist zugleich ordnungserhaltend und ordnungsreflektierend. Dann gilt a\leq b\Leftrightarrow\phi(a)\preceq\phi(b). Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus; man schreibt (G,\leq)\cong(H,\preceq). Ist die Einbettung nicht surjektiv, gilt nur (G,\leq)\cong(\phi(G),\preceq): G ist also zur Bildmenge mit ihrer Ordnung isomorph.