Seilstatik

Gegenstand und Bedeutung

Die Seilstatik ist ein Fachgebiet der technischen Mechanik. Sie untersucht das Verhalten von Seilen und seilähnlichen Strukturen wie Ketten unter statischen Belastungen. Als Belastungen treten insbesondere Einzelkräfte, Streckenlasten und die Gewichtskraft auf. Auch Windlasten können eine wichtige Rolle spielen; der Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke im Jahr 1940 zeigte ihre Bedeutung.

Anwendungen gibt es unter anderem bei Seilbahnen, Kabelkränen, Frei- und Oberleitungen sowie Hängebrücken. Bei einer Hängebrücke nimmt das gespannte Seil Lasten auf, die quer zu seiner eigenen Richtung wirken. Es wandelt diese Lasten in Zugkräfte um und leitet sie an die Aufhängepunkte ab.

Die Form des Seils wird durch die Seillinie y(x) beschrieben. Die Durchhangkurve η(x) gibt den vertikalen Abstand des Seils von der Geraden zwischen den Aufhängepunkten an. Die Seilkraft S kann in eine horizontale Komponente H und eine vertikale Komponente V zerlegt werden.

Idealisierte Eigenschaften der Seile

In der Modellvorstellung sind Seile biegeschlaff und dehnstarr. Alle Strukturen, bei denen diese Annahmen näherungsweise gelten, werden in der Seilstatik vereinfachend als „Seile“ bezeichnet.

Biegeschlaffheit bedeutet, dass ein Seil ausschließlich Zugkräfte übertragen kann. Diese Kräfte wirken tangential zur Seillinie. Im Seil treten nur über den Querschnitt verteilte Normalspannungen σ auf. Ihre Summe ergibt die inneren Seilkräfte S. Nicht übertragen werden scherenden Querkräfte sowie Biege- und Torsionsmomente.

Dehnstarrheit bedeutet, dass die Längenänderung des Seils unter Belastung vernachlässigt wird oder unbedeutend klein ist. Diese Annahme gilt nur für Zugkräfte: Druckkräfte kann ein Seil in axialer Richtung nicht aufnehmen. In bestimmten Fällen ist die elastische Seildehnung jedoch wesentlich; dann wird das Seil als dehnbar modelliert.

Der scherungsfreie Spannungszustand nutzt die Tragfähigkeit zugfester Werkstoffe besonders gut aus. Die in der Seilstatik ermittelten Seillinien liefern deshalb unter einer gegebenen Belastung optimale Bauformen für Bögen, die als Stützlinien bezeichnet werden.

Seillinie, Kräfte und Randbedingungen

Wirkt die Streckenlast q ausschließlich in vertikaler Richtung, folgt aus dem Gleichgewicht in x-Richtung, dass die Horizontalkomponente H der Seilkraft konstant ist. Das Gleichgewicht in y-Richtung ergibt V′(x) = q(x). Da die Seilkraft überall tangential zur Seillinie wirkt, gilt außerdem y′ = V/H. Daraus folgt

y″ = V′/H = q/H.

Durch zweimalige Integration erhält man die allgemeine Seillinie:

y′(x) = (1/H) ∫₀ˣ q(ξ) dξ + C₁,

y(x) = (1/H) ∫₀ˣ ∫₀ξ q(χ) dχ dξ + C₁x + C₀.

Dabei sind C₀ und C₁ Integrationskonstanten. Die Durchhangkurve lautet

η(x) = y(x) − ((y_L − y₀)/L)x − y₀,

wobei y₀ die Höhe des Lagers bei x = 0 und y_L die Höhe des Lagers bei x = L ist. Es gilt η(0) = η(L) = 0. Der maximale Durchhang liegt dort, wo η′(x) = 0. Bei ungleich hohen Aufhängepunkten fällt diese Stelle nicht unbedingt mit dem tiefsten Punkt der Seillinie zusammen. Der tiefste Punkt liegt dort, wo y′(x) = 0 gilt, falls eine solche Stelle zwischen den Lagern existiert, oder an einem Seilrand.

Aus der Seillinie ergeben sich die Seilkräfte:

V(x) = Hy′(x),

S(x) = √(H² + V²(x)) = H√(1 + y′(x)²).

Wirkt die Belastung überall nach unten, ist die maximale Seilkraft dort zu erwarten, wo die Steigung betragsmäßig am größten ist, in der Regel an einem der Aufhängepunkte. Am tiefsten Punkt gilt y′(x) = 0; dort hat auch der Vertikalzug V einen Nulldurchgang, die Seilkraft ihr Minimum und S = H.

Anpassung an konkrete Aufgaben

Die allgemeinen Gleichungen legen die drei Unbekannten C₀, C₁ und H noch nicht fest. Dafür benötigt man Rand- oder andere Zusatzbedingungen. Vorgegeben oder indirekt bestimmt werden können beispielsweise der maximale Durchhang, die maximale Seilkraft oder die Seillänge zwischen den Aufhängepunkten:

l = ∫₀ᴸ √(1 + y′(x)²) dx.

Die Integrationskonstanten lassen sich meist relativ einfach bestimmen. Schwieriger ist häufig der Horizontalzug H. Besonders die Vorgabe der Seillänge führt im Allgemeinen auf eine nichtlineare Gleichung. Diese wird mit numerischen Methoden gelöst.

Belastungsfälle und Beispiel Seilbahn

Bei einer einzelnen Einzellast und vernachlässigbarer Seilmasse besteht das Seil aus geraden Teilstücken. Bei mehreren Einzelkräften entsteht ein Seileck; zur Berechnung kann das Seileckverfahren verwendet werden. Für eine Laterne mit Gewicht G, deren Seilkräfte unter den Winkeln α beziehungsweise β zur Horizontalen wirken, gilt

F₁ = G cos β / sin(α + β),

F₂ = G cos α / sin(α + β).

Kann sich die Laterne auf einer Rolle frei auf dem Seil bewegen, stellt sich die Gleichgewichtslage F₁ = F₂ ein. Dann sind α und β gleich, und es gilt F₁ = F₂ = G/(2 sin α).

Bei einer konstanten externen Streckenlast q(x) = q₀ ergibt sich eine parabelförmige Seillinie:

y′(x) = (q₀/H)x + C₁,

y(x) = (q₀/(2H))x² + C₁x + C₀,

η(x) = −(q₀/(2H))x(L − x).

Die Kräfte sind V = q₀x + C₁H und S = √(H² + (q₀x + C₁H)²). Die Seillänge wird mit l = ∫₀ᴸ √(1 + y′(x)²) dx berechnet. Ihre geschlossene Form enthält arsinh, die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Bei bekannten Lagerhöhen y₀ und y_L lautet die Seillinie

y(x) = (q₀/(2H))x² + ((y_L − y₀)/L − q₀L/(2H))x + y₀.

Das Eigengewicht ist immer vorhanden. Bei geringem Durchhang darf es näherungsweise als konstante Streckenlast behandelt werden. Bei größerem Durchhang nimmt die auf die Horizontale bezogene Belastung zu den Aufhängepunkten hin zu. Mit Wichte γ, Querschnittsfläche A und Seilstücklänge ds gilt für die Gewichtskraft dq = γA ds. Daraus folgt

y″ = (γA/H)√(1 + y′²).

Die Lösung ist eine Kettenlinie:

y′ = sinh((γA/H)x + C₁),

y = (H/(γA)) cosh((γA/H)x + C₁) + C₀.

Die Seillänge ist l = (H/(γA))[sinh((γA/H)L + C₁) − sinh(C₁)]. Für die Kräfte gilt V = H sinh((γA/H)x + C₁) und S = H cosh((γA/H)x + C₁). Drei Gleichungen bestimmen C₀, C₁ und H; das entstehende nichtlineare Gleichungssystem wird numerisch gelöst.

Bei einer Einzellast zusammen mit Eigengewicht, etwa bei einer Seilbahn mit Kabine, hat die Seillinie an der Krafteinleitungsstelle P einen Knick. Die beiden Seilstücke werden getrennt mit Kettenlinien beschrieben. Neben den Lagerhöhen und der gemeinsamen Höhe in P gelten das horizontale und vertikale Kräftegleichgewicht sowie gegebenenfalls die gesamte Seillänge. Für die Horizontalzüge gilt beispielsweise H₁ = H₂ + Fₓ und für das vertikale Gleichgewicht H₁y′₁(L₁) + Fᵧ = H₂y′₂(0).

Im Beispiel der Luftseilbahn Schwägalp–Säntis werden folgende Daten verwendet: Die Tragseile wiegen 12,3 kg/m und haben eine Bruchkraft von 2350 kN. Das Tragseilspanngewicht pro Fahrbahn beträgt 98.000 kg, das Bruttogewicht der Kabine 15.890 kg. Die Talstation liegt bei (0, 1351) m, die erste Stütze bei (1170, 1900) m, die zweite bei (1600, 2250) m und die Bergstation bei (2009, 2473) m.

Die Kabine befindet sich bei x = 1000 m, also 170 m vor der ersten Stütze. Wegen zweier Tragseile pro Fahrbahn werden Spann- und Kabinengewicht jeweils geteilt. Mit g = 9,81 m/s² ergeben sich S₀ = 481 kN, F = 78 kN und q₀ = 121 N/m. Unter der Annahme eines geringen Durchhangs wird eine konstante Streckenlast verwendet. Die Lösung liefert H = 462 kN sowie C₀ = 1351 m, C₁ = 0,2914, C₂ = 1773 m und C₃ = 0,7223.

An der Kabinenposition betragen die Vertikalzüge V₁(L₁) = 256 kN (nach der Kettenlinie 261 kN) und V₂(0) = 334 kN (339 kN). Die entsprechenden Seilkräfte sind S₁(L₁) = 528 kN (531 kN) und S₂(0) = 570 kN (574 kN). Die Bruchkraft von 2350 kN wird dort somit nur zu etwa einem Viertel ausgenutzt. Die mit der Kettenlinie berechneten Werte liegen durchgehend höher; die Abweichungen betragen weniger als 3 %.