Scherung (Mechanik)

Grundidee und Spannungen

Scherung ist eine Verformung zwischen zwei Ebenen: Ein Kräftepaar aus parallelen, entgegengesetzt gerichteten Scher- oder Schubkräften verschiebt die Ebenen gegeneinander. Der Bereich dazwischen wird geschert. Dabei entstehen Schubverzerrungen, auch Gleitungen, oder ein Scherwinkel γ.

Die Kräfte wirken tangential zur Körperoberfläche und leiten eine Schubspannung τ in das Material ein. Bei kleinen Deformationen und linearer Elastizität gilt τ = G·γ. G ist der Schubmodul, auch Scher- oder Gleitmodul. Schubspannung und Schubmodul haben die Dimension Kraft pro Fläche; für die Schubspannung ist die SI-Einheit Pascal (Pa) = N/m².

Makroskopisch zeigen sich Scherungen etwa bei der Torsion: Parallel liegende Querschnittsflächen eines Stabes werden gegeneinander verdreht; Länge und Querschnitt bleiben idealerweise unverändert. Weitere Beispiele sind Niet- und Bolzenverbindungen sowie das Scherschneiden mit einer Schere.

Mikroskopisch betrachtet man Schnittspannungen auf gedanklich durch den Körper gelegten Schnittflächen. Schubspannungen liegen parallel zur Schnittfläche, Normalspannungen senkrecht dazu. Die maximale Schubspannung heißt Hauptschubspannung. Bei den typischen Scherbelastungen sind zwei Hauptspannungen entgegengesetzt gleich groß; die maximale Schubspannung ist dann betragsmäßig gleich den Hauptspannungen. Sie tritt im 45°-Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen auf. Sind alle drei Hauptspannungen gleich, liegt allseitiger Druck oder Zug vor; in isotropem Material gibt es dann keine Schubspannungen. Nach der Schubspannungshypothese sind Schubspannungen für das Versagen eines Werkstoffs verantwortlich.

Schubverzerrung und große Verformungen

Die Schubverzerrung γ beschreibt die Abweichung eines ursprünglich rechten Winkels. Anschaulich: Werden die Buchdeckel eines Buches parallel gegeneinander verschoben, bilden Buchrücken und Seitenstapel keinen Winkel von 90° mehr.

Bei kleinen ebenen Verformungen mit Verschiebungen u(x,y) in x- und v(x,y) in y-Richtung gilt in kartesischen Koordinaten: γ = ∂u/∂y + ∂v/∂x. Diese Formel folgt aus der Summe der kleinen Winkel, um die sich zwei ursprünglich senkrechte Seiten eines infinitesimalen Rechtecks gegeneinander neigen. Sie setzt kleine Verschiebungsableitungen und die Kleinwinkelnäherung voraus.

Wird ein Quadrat in ein Rechteck verformt, gilt bei kleinem ε: γ ≈ 2ε. Die Fläche ist dabei in erster Ordnung erhalten: A = (1+ε)·L·(1-ε)·L = (1-ε²)·L² ≈ L². Bei großen volumenerhaltenden Verformungen ist die Querdehnung in der Ebene ε/(1+ε); die Partikel bewegen sich auf gekrümmten Bahnen.

Für große Verformungen werden ursprünglich rechtwinklige materielle Linien betrachtet. Mit dem Green-Lagrange’schen Verzerrungstensor E lautet der Zusammenhang: sin(γ) = 2E₁₂/[√(1+2E₁₁)√(1+2E₂₂)]. E₁₂ ist die Schubverzerrung in der 1-2-Ebene, E₁₁ und E₂₂ sind die Normaldehnungen. Für kleine Verzerrungen vereinfacht sich dies zu γ ≈ 2ε₁₂ = ∂u₁/∂X₂ + ∂u₂/∂X₁.

Die Schergeschwindigkeit im Zustand γ = 0° ist γ̇ = 2d₁₂ = ∂v₁/∂x₂ + ∂v₂/∂x₁, wobei d der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor und v₁, v₂ die Geschwindigkeiten sind. Bei kleinen Verzerrungen gilt d ≈ ε̇.

Reine und einfache Scherung

Von reiner Scherung spricht man, wenn es ein Bezugssystem gibt, in dem keine Normaldehnungen oder keine Normalspannungen vorkommen. In der Geologie heißt die reine Scherung auch koaxiale Scherung oder reine Kompression. Sie ist eine drehungsfreie, koaxiale Verformung: Der Körper wird in einer Richtung verlängert und gleichzeitig senkrecht dazu verkürzt. Als Idealfall führt sie zu einer dreidimensionalen homogenen Abflachung.

Die einfache Scherung, auch nicht-koaxiale Scherung, ist der Extremfall einer nicht-koaxialen Verformung. Parallele Ebenen eines Materials bleiben parallel und behalten ihren Abstand, verschieben sich jedoch relativ zueinander. Reine und einfache Scherung sind in der Geologie zwei Extremfälle; durch ihre Kombination lassen sich beispielsweise transpressive oder transtensive Verwerfungen betrachten.

Festkörper und plastische Verformung

Eine Schubbelastung ist eine Kraft oder ein Moment, durch die ein Körper zumindest örtlich eine Scherbewegung ausführt. Sie wird im Inneren vor allem in Schubspannungen umgesetzt. Scherbelastungen können auch ohne äußere Kraft entstehen, etwa bei flächig verbundenen Stoffen mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten, durch latente Spannungen bei inhomogener Erstarrung wie beim Schweißen oder durch Beschichtungen, die anders schrumpfen als ihr Grundmaterial.

Im elastischen Bereich werden materielle Flächen reversibel parallel gegeneinander verschoben. Dabei können sie sich verwölben, etwa bei der Torsion eines nicht kreisrunden Stabes oder bei Querkraftbelastung eines Trägers. Oberhalb des elastischen Bereichs verformen sich duktile Materialien plastisch; beim Überschreiten der Scherfestigkeit wird das Werkstück abgeschert.

In duktilen kristallinen Werkstoffen, besonders Metallen, führt das Überschreiten der Elastizitätsgrenze zu Versetzungsbewegungen. Kristallteile gleiten längs einer Gleitebene in einer Gleitrichtung; zusammen bilden beide ein Gleitsystem. Für den Normalenvektor n der Gleitebene, die Gleitrichtung m und den Spannungstensor σ gilt: τ^(GS) = n·σ·m, mit m·n = 0. Übersteigt τ^(GS) die kritische Schubspannung τkrit, gleiten die Atome beiderseits der Gleitebene und das Material verformt sich plastisch.

In polykristallinen isotropen Werkstoffen behindern unterschiedlich orientierte Kristallkörner einander. Dadurch steigt die Schubfließgrenze σF: σF = Mτkrit. Der Taylor-Faktor M hängt von den statistischen Eigenschaften der Kristallkörner ab. Bei kubisch flächenzentriertem Gitter ist M = 3,1, bei kubisch raumzentriertem Gitter M = 2,9.

Thermoplaste verformen sich plastisch durch örtliches Strecken ihrer Kettenmoleküle. Besonders unter Druck entstehen Scherbänder im Winkel von 45° bis 60° zur Belastungsrichtung. In ihnen können lokal plastische Verformungen von 100 % und mehr auftreten, während die Verformung außerhalb gering bleibt.

Fluide und Rechenbeispiel

Auch Flüssigkeiten und Gase können geschert werden. In reibungsfreien Fluiden erzeugen Schergeschwindigkeiten keine Schubspannungen. Bei newtonschen Fluiden, deren Geschwindigkeitsfeld den Navier-Stokes-Gleichungen gehorcht, lautet das Materialmodell: σ = -p(ρ)1 + 2μd + λ Sp(d)1. Dabei ist p der von der Dichte ρ abhängige Druck, 1 der Einheitstensor, μ die zweite und λ die erste Lamé-Konstante und Sp die Spur. Die Schubspannungen sind über 2μd proportional zum Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d; diese Eigenschaft zeigt sich makroskopisch als Viskosität.

An einer festen Wand verhindert die Haftbedingung eine wandparallele Bewegung des Fluids direkt an der Wand. Deshalb bildet sich eine Grenzschicht, in der sich die Geschwindigkeit an den Hauptstrom angleicht. Strömt das Fluid parallel zur Wand in x-Richtung und zeigt die Wandnormale in y-Richtung, gilt: τ(y) = μγ̇xy = μ(∂vₓ/∂y + ∂vᵧ/∂x) = μ∂vₓ/∂y. Die Wandschubspannung ist τw := τ(y=0) = μ∂vₓ/∂y|y=0. Nicht-newtonsche Fluide besitzen dagegen eine nichtlineare Abhängigkeit zwischen Schubspannung und Schergeschwindigkeit.

Im Beispiel eines Einheitsquadrats mit (x,y) ∈ [0,1]×[0,1] ist die Verschiebung u = ((γ-φ)y, φx)ᵀ. γ ist die Gleitung, φ bewirkt eine Drehung. Der linearisierte Verzerrungstensor ist 1/2·[[0,γ],[γ,0]] und der Spannungstensor [[0,τ],[τ,0]] mit τ = Gγ. Dies gilt nur bei |γ|, |φ| ≪ 10°. Die Hauptspannungen sind ±τ und liegen in Ebenen mit Normalen (1/√2)(1,±1)ᵀ; dort treten keine Schubspannungen auf. Bei großen Scherbewegungen entstehen zusätzlich Normaldehnungen, weil der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor 1/2·[[φ²,γ],[γ,(γ-φ)²]] lautet. Dies ist der Poynting-Effekt.