Einmaleins

Grundidee und Bedeutung

Das kleine Einmaleins, auch 1×1 oder 1mal1 genannt, ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die aus zwei natürlichen Zahlen von 1 bis 10 gebildet werden. Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation, also zum Beispiel 3 · 4 = 12. Meist wird das kleine Einmaleins als Tabelle dargestellt. Das große Einmaleins erweitert diesen Bereich auf natürliche Zahlen von 1 bis 20.

Das kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik. Es wird meist in der Grundschule auswendig gelernt, weil es viele spätere Rechenverfahren vereinfacht. Der Ausdruck „Einmaleins“ wird außerdem übertragen verwendet: Er kann allgemein die Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnen.

Verwendung beim Rechnen

Das kleine Einmaleins wird besonders beim schriftlichen Multiplizieren gebraucht. Dabei hilft es, das Produkt einzelner Ziffern der beiden Faktoren schnell zu finden. Für dieses Verfahren reichen eigentlich die Produkte der Ziffernkombinationen von 0 · 0 bis 9 · 9. Produkte mit dem Faktor 0 werden in Darstellungen meist weggelassen.

Aus der Tradition der Verwendung römischer Ziffern werden jedoch zusätzlich Produkte mit einem Faktor 10 aufgenommen. Das Einmaleins wird auch bei der schriftlichen Division verwendet. Der Nutzen liegt darin, wiederholtes Addieren abzukürzen: Statt eine Zahl mehrfach zusammenzuzählen, kann das passende Produkt direkt aus dem Gedächtnis oder aus einer Tabelle entnommen werden.

Tabellen und Reihen

Eine ausführliche Darstellung des kleinen Einmaleins ist die Multiplikationstabelle. Sie wird Pythagoras zugeschrieben und deshalb in manchen Sprachen sowie in der Montessoripädagogik Pythagorasbrett oder Pythagorastabelle genannt.

In einer solchen Tabelle steht in der ersten Spalte links der erste Faktor und in der ersten Zeile oben der zweite Faktor. Am Schnittpunkt der passenden Zeile und Spalte steht das Produkt. Beispiel: In der Zeile 7 und der Spalte 8 steht 56, weil 7 · 8 = 56. In der Zeile 10 und der Spalte 10 steht 100, weil 10 · 10 = 100.

Das kleine Einmaleins wird nach dem zweiten Faktor in Reihen eingeteilt: 1er-Reihe, 2er-Reihe, 3er-Reihe und so weiter bis zur 10er-Reihe. Eine Tabellenspalte stellt jeweils eine solche Reihe dar. Das große Einmaleins funktioniert entsprechend, enthält aber Produkte mit Faktoren bis 20, also zum Beispiel 12 · 12 = 144, 17 · 20 = 340 und 20 · 20 = 400.

Kompakte Darstellung nach Adam Ries

In Adam Risen Rechenbuch von 1574 findet sich eine Einmaleins-Tabelle mit dem Hinweis: „du mußt vor allen Dingen das Einmal eins wol wissen und auswendig lernen wie hie:“ Die Darstellung ist kompakter als eine vollständige Tabelle.

Diese Form nutzt das Kommutativgesetz aus. Das Kommutativgesetz bedeutet hier: Bei der Multiplikation darf man die Faktoren vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Zum Beispiel gilt 2 · 3 = 3 · 2. Deshalb muss ein Produkt nicht doppelt aufgeführt werden. Die Tabelle nach Adam Ries lässt solche redundanten, also überflüssig wiederholten, Informationen weg. Sie diente als Hilfsmittel beim Rechnen auf Linien.

Beispiele aus den Reihen

Die Reihen des kleinen Einmaleins zeigen die Produkte eines festen zweiten Faktors mit den Zahlen 1 bis 10. In der 5er-Reihe stehen zum Beispiel 01 · 5 = 05, 02 · 5 = 10, 03 · 5 = 15 und so weiter bis 10 · 5 = 50. In der 9er-Reihe stehen 01 · 9 = 09, 02 · 9 = 18, 03 · 9 = 27 bis 10 · 9 = 90.

Die 10er-Reihe zeigt, dass beim Multiplizieren mit 10 die Produkte 10, 20, 30 und so weiter bis 100 entstehen. Die im Artikel gezeigten Schreibweisen verwenden teilweise führende Nullen, zum Beispiel 01 · 10 = 010 oder 09 · 10 = 090. Inhaltlich geht es dabei um dieselben Produkte 10 und 90.

Andere Zahlensysteme und Zahlschriften

Einmaleinsartige Tabellen gab es auch in anderen Zahlensystemen und Zahlschriften. Aus der Zeit um Christi Geburt ist ein Einmaleins in Griechischer Zahlschrift überliefert. Die Aufzeichnung eines Schülers gilt als Beleg dafür, dass das Einmaleins damals gelehrt und gelernt wurde.

Im Jahr 493 stellte Victorius von Aquitanien den sogenannten Calculus Victorii zusammen. Dieses Tafelwerk sollte Multiplikation und Division erleichtern. Es enthielt 98 Spalten und gab Produkte der Zahlen von den Brüchen bis zum Wert 1000 mit den Zahlen von 2 bis 50 in Römischer Zahlschrift an.

Für das Sexagesimalsystem, also ein Zahlensystem mit der Basis 60, veröffentlichte Gaspar Schott im Jahr 1661 die Tabula Sexagenaria.