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Satz von den Ergänzungsparallelogrammen
Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.
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Aussage und Bedeutung
Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über Flächeninhalte in einem Parallelogramm.
Gegeben ist ein Parallelogramm {\mathcal P}=ABCD in der euklidischen Ebene. Eine seiner Diagonalen sei d=AC, und Z sei ein innerer Punkt dieser Diagonalen. Durch Z werden Parallelen zu den Seiten des ursprünglichen Parallelogramms gezogen. Dadurch zerfällt {\mathcal P} in vier kleinere Parallelogramme, deren einziger gemeinsamer Punkt Z ist.
Die beiden Teilparallelogramme, die von der Diagonalen d nicht durchquert werden und mit ihr nur den Punkt Z gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich. Insbesondere besitzen sie denselben Flächeninhalt.
Bezeichnungen und Zerlegung
Die vier Teilparallelogramme werden mit {\mathcal P}_A,{\mathcal P}_B,{\mathcal P}_C,{\mathcal P}_D bezeichnet. Dabei enthält {\mathcal P}_X jeweils den Eckpunkt X des ursprünglichen Parallelogramms. Die Diagonale d=AC verläuft durch {\mathcal P}_A und {\mathcal P}_C, während {\mathcal P}_B und {\mathcal P}_D mit ihr nur Z gemeinsam haben.
Die Diagonale zerlegt ABCD in die kongruenten, also deckungsgleichen Dreiecke ABC und ACD. Deshalb gilt F_{ABC}=F_{ACD}=\frac{F_{ABCD}}{2}.
Auch die Teilparallelogramme {\mathcal P}_A und {\mathcal P}_C werden durch d jeweils in zwei kongruente Dreiecke zerlegt. Diese vier Dreiecke heißen {\Delta}_1,{\Delta}_2,{\Delta}_3,{\Delta}_4, wobei {\Delta}_1 und {\Delta}_3 in ABC sowie {\Delta}_2 und {\Delta}_4 in ACD liegen.
Beweis über die Flächeninhalte
Für die beiden großen Dreiecke ergeben sich die Zerlegungen F_{ABC}=F_{{\Delta}_1}+F_{{\Delta}_3}+F_{{\mathcal P}_B} und F_{ACD}=F_{{\Delta}_2}+F_{{\Delta}_4}+F_{{\mathcal P}_D}.
Da ABC und ACD kongruent sind, haben sie gleiche Flächeninhalte. Außerdem stammen {\Delta}_1 und {\Delta}_2 aus der diagonalen Zerlegung desselben Teilparallelogramms und sind daher kongruent; entsprechend sind auch {\Delta}_3 und {\Delta}_4 kongruent. Zieht man von den gleich großen Dreiecken ABC und ACD diese jeweils gleich großen Dreiecksflächen ab, bleiben gleich große Restflächen übrig. Somit gilt F_{{\mathcal P}_B}=F_{{\mathcal P}_D}.
Die beiden Restparallelogramme sind darüber hinaus ergänzungsgleich: Fügt man ihnen jeweils endlich viele paarweise kongruente Vielecke hinzu, entstehen die kongruenten Dreiecke ABC und ACD.
Ergänzungsparallelogramme
Die beiden Teilparallelogramme {\mathcal P}_B und {\mathcal P}_D, die von der gewählten Diagonalen nicht zerlegt werden, heißen Ergänzungsparallelogramme. Nach dem Satz sind sie ergänzungsgleich und haben daher identischen Flächeninhalt.
